Seminar:
Določitev termoelastičnega napetostno-deformacijskega stanja noslica lokalno obremenjenega s temperaturno obremenitvijo

Povzetek
Določitev temperaturnega polja in napetostno-deformacijskega stanja sredinsko segretega valja ne predstavlja zahtevnega fizikalnega problema, matematično pa je izjemno kompleksen. Primerjava dobljenih rezultatov analitičnega in numeričnega preračuna je navdušujoča. Odstopanja so. Pojavijo se zaradi poenostavitev pri analitičnem računanju temperaturnega polja in zaradi končne izbire elementov dobljenih neskončnih vsot. Nekaj je seveda tudi numerične napake pri rešitvi z metodo končnih elementov.

Kazalo
1 Uvod 6
2 Teoretične osnove 7
3 Temperaturno polje 10
3.1 Razdelitev rešitve 11
3.2 Eliptična rešitev 13
3.2.1 Določitev pD in βD 15
3.2.2 Določitev pL in βL 17
3.2.3 Določitev pS in βS 18
3.2.4 Določitev CL, CD, CS, DL, DD in DS 19
3.3 Hiperbolična rešitev 22
3.3.1 Določitev pD, pL, μD in μL 23
3.3.2 Določitev pS in μS 25
3.3.3 Določitev AD, AL, BD in BL 26
3.3.4 Določitev AS in BS 28
3.4 Določitev temperaturnega polja na konkretnem primeru 31
4 Napetostno-deformacijsko stanje ([2], str. 163) 34
4.1 Razvoj temperaturnega polja v Fourierovo vrsto 35
4.2 Določitev koeficientov termoelastičnega potenciala 38
4.3 Izračun pomikov, deformacij in napetosti 41
4.4 Določitev napetostno-deformacijskega stanja na konkretnem primeru 42
5 Numerični model 47
5.1 Temperaturna analiza 47
5.2 Trdnostna analiza 49
6 Zaključek 53
7 Literatura 54
8 Priloga: Izračun napetostno-deformacijskega stanja v programskem paketu Mathematica 55
Slike
Slika 1: Valj – zelo poenostavljen model nosilca 6
Slika 2: Dimenzije valja 6
Slika 3: Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda 10
Slika 4: Dimenzije valja 31
Slika 5: Analitična porazdelitev temperature po prerezu valja 32
Slika 6: Potek temperature po prerezu valja 32
Slika 7: Analitično določeni pomiki v radialni smeri (ur [mm]) 42
Slika 8: Analitično določeni pomiki v aksialni smeri (uz [mm]) 42
Slika 9: Analitično določene deformacije v radialni smeri (εr [-]) 43
Slika 10: Analitično določene deformacije v cirkularni smeri (εθ [-]) 43
Slika 11: Analitično določene deformacije v aksialni smeri (εz [-]) 44
Slika 12: Analitično določene deformacije v radialno-aksialni smeri (εrz [-]) 44
Slika 13: Analitično določene napetosti v radialni smeri (σr [MPa]) 45
Slika 14: Analitično določene napetosti v cirkularni smeri (σθ [MPa]) 45
Slika 15: Analitično določene napetosti v aksialni smeri (σz [MPa]) 46
Slika 16: Analitično določene napetosti v radialno-aksialni smeri (σrz [MPa]) 46
Slika 17: Pomrežen valj 47
Slika 18: Robni pogoji 47
Slika 19: Numerično določeno temperaturno polje 48
Slika 20:Numerično določeno temperaturno polje v prerezu 48
Slika 21: Numerično določeni pomiki v radialni smeri (ur [mm]) 49
Slika 22: Numerično določeni pomiki v aksialni smeri (uz [mm]) 49
Slika 23: Numerično določene deformacije v radialni smeri (εr [-] ) 50
Slika 24: Numerično določene deformacije v cirkularni smeri (εθ [-]) 50
Slika 25: Numerično določene deformacije v aksialni smeri (εz [-]) 50
Slika 26: Numerično določene deformacije v radialno-aksialni smeri (εrz [-]) 51
Slika 27: Numerično določene napetosti v radialni smeri (σr [MPa]) 51
Slika 28: Numerično določene napetosti v cirkularni smeri (σθ [MPa]) 51
Slika 29: Numerično določene napetosti v aksialni smeri (σz [MPa]) 52
Slika 30: Numerično določene napetosti v radialno-aksialni smeri (σrz [MPa]) 52

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Pomen Enote

napetostni tenzor

deformacijski tenzor

vektor pomikov

temperatura

pozicija

čas

elastični modul

Poissonovo število

prva Lamejeva konstanta

druga Lamejeva konstanta

koeficient temperaturne razteznosti

koeficient toplotne prevodnosti

koeficient toplotne prehodnosti

koeficient toplotne prestopnosti

recipročen normiran koeficient toplotne prehodnosti

vektor obremenitev

harmonični vektor

harmonični skalar

pozicijski vektor

termoelastični pomični potencial

temperatura v levem polju

temperatura v desnem polju

temperatura v srednjem polju

temperatura okolice

radialna koordianta

aksialna koordinata

brezdimenzijska radialna koordinata

brezdimenzijska aksialna koordinata

1 Uvod
Za valj na sliki 1, ki predstavlja zelo poenostavljen model nosilca obremenjenega z lokalno temperaturno obremenitvijo, ki je prosto prosto podprt, je potrebno analitično določiti temperaturno polje in pripadajoče napetostno-deformacijsko stanje. Analitično dobljeni rezultat je nato potrebno primerjati z numeričnim, dobljenim s programskim paketom ANSYS.

Slika 1: Valj – zelo poenostavljen model nosilca

Poenostavljen model torej predstavlja valj dolžine 2l, notranjega premera d1, zunanjega premera d2 in začetne temperature T0, ki ga na obodu dolžine 2c grejemo s temperaturo T1 (slika 2).

Slika 2: Dimenzije valja

Za stacionaren primer bom torej iračunal temperaturno polje T(r,z) nato pa še pripadajoč napetostni tenzor σij, deformacijski tenzor εij in vektor premikov ui.

2 Teoretične osnove
V splošnem obravnavamo pri termoelastičnem problemu šestnajst neznanih funkcij pozicije xk in časa t, to je šest napetostnih komponent σij, šest deformacijskih komponent εij, tri komponente vektorja premikov ui in temperaturo T. Štiri skupine enačb, ki nam te veličine popisujejo, so:
• tri gibalne enačbe
, (2-0-1)
• enačba prenosa toplote
, (2-0-2)
• šest napetostno-deformacijskih zvez
, (2-0-3)
• šest zvez med deformacijami in pomiki
. (2-0 4)

Če notranja generacija toplote ni prisotna oz. zunanja generacija toplote povzroča neenakomerno segrevanje, lahko predpostavimo, da je temperaturno polje neodvisno od deformacij zaradi temperature. V tem primeru odpade člen v enačbi (2-0-2). Pod običajnimi pogoji prenosa toplote je hitrost spreminjanja temperature v primerjavi s hitrostjo zvoka v materialu majhna, zato ne upoštevamo vztrajnostnih sil zaradi gibanja delcev med spreminjanjem temperature. Odpade nam člen v enačbi (2-0-1). Če upoštevamo omenjeni predpostavki, pravimo, da je termoelastični problem kvaistatičen. Če upoštevamo še, da je temperaturno polje časovno neodvisno, odpade tudi člen v enačbi (2-0-2). Takšen termoelastičen problem je stacionaren.
Prvi del rešitve stacionarnega termoelastičnega problema je določitev temperaturnega polja T. določeno je s ti. Laplaceovo diferencialno enačbo (sledi iz enačbe (2-0-2)),
, (2-0-5)
in robnimi pogoji prenosa toplote med površino telesa in okolico. V teoriji prenosa toplote privzamemo sledeče idealizirane robne pogoje:
• Predpisana površinska temperatura
, (2-0-6)
kjer je xk točka na površini telesa, f(xk) pa je dana funkcija
• Predpisan toplotni pretok iz telesa v okolico
, (2-0-7)
kjer je n normala iz površine telesa v točki xk in
• Predpisana temperatura okolice in zakon konvektivne izmenjave toplote med površino in okoliškim medijem
, (2-0-8)
kjer je α površinski prestopnostni koeficient.
V telesu je edini možni prenos toplote s konduktivnostjo (prevodom), na površini telesa pa se lahko toplota prenaša s konduktivnostjo, konvekcijo (prestopom) ali z radiacijo (sevanjem).
Drugi del rešitve stacionarnega termoelastičnega problema je določitev pripadajočega polja termičnih napetosti. Problem je sestavljen iz določitve preostalih petnajstih veličin σij , εij in ui, ki jih določimo po preostalih enačbah (2-0-1), (2-0-3) in (2-0-4). Ko rešujemo termoelastične probleme, moramo najprej izbrati pomike ui ali napetosti σij kot odisne spremenljivke. Glede na izbiro rešujemo termoelastični problem z neodvisnimi spremenljivkami. Splošna rešitev s pomiki kot neodvisnimi spremenljivkami je dana s Papkovičevo enačbo (2-0-14), za katero se izkaže, da je najbolj ugodna, ker je matematično relativno enostavna.
Termoelastični problem, ki sledi iz enačb (2-0-1), (2-0-2), (2-0-3) in (2-0-4), z osnovno enačbo in pomiki kot neodvisnimi spremenljivkami zapišemo kot
. (2-0-9)
Funkcija T je poznana iz rešitve pripadajočega problema prenosa toplote.
Robne pogoje pomikov upoštevamo kot
. (2-0-10)
Če zapišemo še enačbo (2-0-3) s pomiki in upoštevamo zvezo
, (2-0-11)
dobimo napetostne robne pogoje
. (2-0-12)
Splošna rešitev enačbe (2-0-9) ima obliko
, (2-0-13)
kjer je splošna rešitev homogenega dela enačbe (2-0-9) in dejansko predstavlja rešitev v odvisnosti od robnih pogojev pomikov problema, je temperaturna partikularna rešitev enačbe (2-0-9), ki predstavlja F=0 in predstavlja spremembo pomikov zaradi temperaturne spremembe, pa je mehanska partikularna rešitev enačbe (2-0-9), ki predstavlja T=0 in predstavlja spremembo pomikov zaradi mehanske obremenitve.
Splošno rešitev homogenega dela, , je predstavil Papkovič in je oblike
, (2-0-14)
kjer je B harmonični vektor, ki ustreza enačbi
, (2-0-15)
B0 je harmonični skalar, ki ustreza enačbi
, (2-0-16)
in r pozicijski vektor.
Partikularno temperaturno rešitev, , pa dobimo s Papkovič-Goddierovo enačbo oblike
, (2-0-17)
kjer je Φ skalarna funkcija, ki ustreza Poissonovi enačbi
, (2-0-18)
in jo imenujemo termoelastični pomični potencial.
S poznavanjem teemoelastičnega pomičnega potenciala Φ hkrati že določimo partikularno temperaturno rešitev . Ko poznamo te pomike, lahko določimo napetosti zaradi temperaturne spremembe, preko napetostno-deformacijskih zvez (2-0-3) pa določimo še pripadajoče deformacije.
3 Temperaturno polje
Za v uvodu opisani problem najprej določimo temperaturno polje. Valj razdelimo na tri dele (slika 3). Na srednjem delu na zunanjem obodu poznamo temperaturo, povsod drugod pa prenos poteka s konvekcijo na okolico. Predpostavimo, da ima okolica ves čas temperaturo T0, koeficient toplotne prestopnosti α ni odvisen od temperature in je ves čas konstanten, konstaneten pa je tudi koeficient toplotne prevodnosti λ T.

Slika 3: Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda
Na obodu valja imamo torej konvektivne robne pogoje, med razdeljenimi deli pa upoštevamo konduktivne pogoje konsistentnega prehoda. Temperaturno polje je osno simetrično, simetrično pa je tudi glede na ravnino z = 0.
Temperaturno polje razdelimo po delih. V levem delu imamo TL, v desnem TD, v srednjem pa TS. Vpeljemo tudi brezdimenzijske koordinate
, , , , (3-0-1)
in zapis recipročnega normalnega koeficienta toplotne prehodnosti
. (3-0-2)
Določitev stacionarnega temperaturnega polja v vsakem delu valja nam opisuje Laplacova diferencialna enačba (2-0-5), ki se v cilindričnih koordinatah glasi
, . (3-0-3)
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-4)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem desnem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem desnem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja konvekcijo na skrajno desnem robu valja (z = l), četrti pa predstavlja enako temperaturo na desnem in srednjem delu valja (z = c).
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-5)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem levem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem levem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja konvekcijo na skrajno levem robu valja (z = -l) )(odtod -, ker je normala glede na z obrnjena negativno), četrti pa predstavlja enako temperaturo na levem in srednjem delu valja (z = -c).
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-6)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem sredjem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem srednjem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja enako kondukcijo med levim in srednjim delom valja (z = -c), četrti pa predstavlja enako kondukcijo med srednjim in desnim delom valja (z = c).

3.1 Razdelitev rešitve
Rešitev enačbe (3-3) je sesteavljena iz eliptičnega in hiperboličnega dela, zato bom njeno rešitev zapisal v obliki
, , (3-1-1)
kjer bo Ti1, i = L, D, S, eliptična rešitev enačbe
, , (3 1-2)

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko
, ko , (3 1-3)

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-4)

in z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-5)
Ti2, i = L, D, S, bo hiperbolična rešitev enačbe
, , (3 1-6)
z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-7)

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-8)

in z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3 1-9)

Pri obeh rešitvah predpostavimo T1 = 0 zaradi lažjega reševanja, na koncu pa k dobljenemu rezultatu prištejemo T1. S to predpostavko ne vplivamo na splošni del rešitve.

3.2 Eliptična rešitev
Rešitev enačbe 3-1-2 poiščemo z multiplikativnim osnutkom ([1], str. 402). Zapišemo
(3 2-1)
in to vstavimo v enačbo 3-1-2. Dobimo
. (3-2-2)
Vpeljemo parameter β,
(3-2-3)
in dobimo dve ločeni diferencialni enačbi,
(3-2-4)
in
. (3-2-5)

Rešitev enačbe 3-2-4 je
, (3-2-6)
kjer je J0(x) Besslova funkcija ničtega reda in prve vrste, Y0(x) pa Besslova funkcija ničtega reda in druge vrste. Rešitev enačbe 3-2-5 je
. (3-2-7)

Ponovne upoštevamo multiplikativni osnutek 3-2-1 in dobimo
. (3-2-8)
Vpeljemo nove konstante,
, , . (3-2-9)
Dobljena eliptična rešitev mora veljati v vsakem delu valja. Dobimo torej tri rešitve
,
,
. (3-2-10)

Iz robnih pogojev je potrebno izračunati še neznane konstante CL, CD, CS, DL, DS, βL, βD, βS, pL, pD, pS.
Najprej se lotimo določitve konstant βL, βD, βS, pL, pD in pS. Če temperaturno polje, popisano z enačbo
, , (3-2-11)
odvajamo parcilano po ρ, dobimo

, , (3-2-12)
kjer je J1(x) Besslova funkcija prvega reda in prve vrste, Y1(x) pa Besslova funkcija prvega reda in druge vrste. Veljata enakosti
, (3-2-13)
Če temperaturno polje odvajamo parcialno po ς, dobimo

, , (3-2-14)
kjer veljata enakosti
, (3-2-15)

3.2.1 Določitev pD in βD
V desnem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-3: D1 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-16)

Delimo z in izrazimo pD.

. (3-2-17)

Upoštevamo robni pogoj 3-1-3: D2 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-18)

Delimo z in ponovno izrazimo pD.

. (3-2-19)

Izenačimo enačbi 3-2-17 in 3-2-19 in določimo βD.
. (3-2-20)

Po dolgotrajnem računanju in vpeljavi
,
,
(3-2-21)

dobimo transcendentno enačbo, katere rešitev za ρ = 1 predstavljajo vrednosti βDn, n = 1, 2…
(3-2-22)

Rešitev TD1 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [J0(βDρ)+pDY0(βDρ)] nadomestimo s členom u0(βDnρ), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-23)

3.2.2 Določitev pL in βL
V levem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-4: L1 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-24)

Delimo z in izrazimo pL.

. (3-2-25)

Upoštevamo robni pogoj 3-1-4: L2 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-26)

Ponovno delimo z in izrazimo pL.

. (3-2-27)

Izenačimo enačbi 3-2-25 in 3-2-27 in določimo βL.
. (3-2-28)

Po dolgotrajnem računanju in vpeljavi

(3-2-29)

dobimo transcendentno enačbo, katere rešitev za ρ = 1 predstavljajo vrednosti βLn, n = 1, 2…
(3-2-30)

Rešitev TL1 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [J0(βLρ)+pLY0(βLρ)] nadomestimo s členom u0(βLnρ), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-31)

3.2.3 Določitev pS in βS
V srednjem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-5: S1 in dobimo:
, ko ,

(3-2-32)

Delimo z in izrazimo pS.

. (3-2-33)

Upoštevamo robni pogoj 3-1-5: S2 in dobimo:
, ko ,

Ponovno delimo z in izrazimo pS.

(3-2-34)
Izenačimo enačbi 3-2-33 in 3-2-34 in določimo βS.
(3-2-35)

Po računanju in vpeljavi

(3-2-36)

dobimo transcendentno enačbo, katere rešitev za ρ = 1 predstavljajo vrednosti βSn, n = 1, 2…
. (3-2-37)

Rešitev TS1 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [J0(βSρ)+pSY0(βSρ)] nadomestimo s členom u0(βSnρ), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-38)
3.2.4 Določitev CL, CD, CS, DL, DD in DS
Za določitev preostalih konstant upoštevamo najprej pogoja konsistentnega prehoda 3-1-3: D4 in 3-1-4: L4.
, ko in , ko (3-2-39)
Ker gre za simetrično temperaturno polje okrog ravnine z = 0, lahko zapišemo

(3-2-40)
in

(3-2-41)

Tu smo si privoščili poenostavitev in predpostavili, da u0(βDnρ) in u0(βSnρ) predstavljata priblićno enako vrednost (kar seveda ni nujno res) in smo ju pokrajšali.
Iz konduktivnega pogoja konsistentnega prehoda 3-1-5: S4 dobimo
, ko (3-2-42)

Tu smo si privoščili poenostavitev in predpostavili, da u0(βDnρ) in u0(βSnρ) predstavljata priblićno enako vrednost (kar seveda ni nujno res) in smo ju pokrajšali.
Uporabimo še konvektivni robni pogoj 3-1-3: D3 in dobimo
, ko

(3-2-43)

V enačbi 3-2-42 smo tudi temperaturo okolice T0 zapisali kot neskončno vrsto ([2], str. 75).
(3-2-44)
kjer

(3-2-45)
in

(3-2-46)

Dobili smo štiri enačbe (3-2-40, 3-2-41, 3-2-42 in 3-2-43), iz katerih lahko določimo konstante CDn, DDn, CSn in DSn za vsak n = 1,2… posebej. Ker gre za simetrično temperaturno polje okrog ravnine z = 0, sklepamo, da so konstante na levem delu valja, CLn, DLn, enake konstantam na desnem delu valja, CDn in DDn. Pri izračunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Sledi:
(3-2-47)
(3-2-48)
(3-2-49)
(3-2-50)
Eliptični del rešitve temperaturnega polje je torej:
(3-2-51)
Kako so posamezne konstante izračunane, je vidno v celotnem poglavju 3.2.

3.3 Hiperbolična rešitev
Rešitev enačbe 3-1-6 poiščemo z multiplikativnim osnutkom ([1], str 402). Zapišemo
(3-3-1)
in to vstavimo v enačbo 3-1-6. Dobimo
(3-3-2)
Vpeljemo parameter μ,
(3-3-3)
in dobimo dve ločeni diferencialni enačbi,
(3-3-4)
in
(3-3-5)
Rešitev enačbe 3-3-4 je
(3-3-6)
kjer je I0(x) modificirana Besslova funkcija ničtega reda in prve vrste, K0(x) pa modificirana Besslova funkcija ničtega reda in druge vrste. Rešitev enačbe 3-3-5 je
. (3-3-7)
Ponovno upoštevamo multiplikativni osnutek 3-1-1 in dobimo
. (3-3-8)
Vpeljemo nove konstante,
, , . (3-3-9)
Dobljea hiperbolična rešitev mora veljati v vsakem delu valja. Dobimo torej tri rešitve
,
,
. (3-3-10)

Iz robnih pogojev je potrebno izračunati še neznane konstante AL, AD, AS, BL, BD, BS, μL, μD, μS, pD in pS.
Najprej se lotimo določitve konstant μL, μD, μS, pD in pS. Če temperaturno polje, popisano z enačbo
, (3-3-11)
Odvajamo parcialno po ρ, dobimo

, (3-3-12)
Kjer je I1(x) modificirana Besslova funkcija prvega reda in prve vrste, K1(x) pa modificirana Besslova funkcija prvega reda in druge vrste. Veljata enakosti
, . (3-3-13)
Če temperaturno polje odvajamo parcialno po ς, dobimo

, , (3-3-14)
kjer veljata enakosti
, . (3-3-15)
3.3.1 Določitev pD, pL, μD in μL
V desnem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-7: D3 in dobimo:
, ko

. (3-3-16)

Delimo z in izrazimo pD.

(3-3-17)
V dlevem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-8: L3 in dobimo:
, ko

. (3-3-18)

Delimo z in izrazimo pL in upoštevamo cos(-x) = cos(x) ter sin(-x) = -sin(x).

(3-3-19)

Iz pogojev konsistentnega prehoda 3-1-7: D4 in 3-1-8: L4 sledi
(3-3-20)

zato lahko enačbi 3-3-17 in 3-3-19 izenačimo in dobimo

(3-3-21)

Na obeh straneh enačbe 3-3-21 izpostavimo μD in vpeljemo izraza
(3-3-22)
. (3-3-23)

Dobimo transcendentno enačbo, katere rašitev za ς = ς1 predstaljajo vrednosti μDj, j = 1, 2…

(3-3-24)

Rešitev TD2 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [cos(μD ς)+pDsin(μD ς)] nadomestimo s členom Z0(μD ς), ker predstavljato povsem isto.
. (3-3-25)

Ker imamo simetrično temperatuno polje okoli ravnine z = 0, lahko upoštevamo enačbo 3-3-20 in zapišemo tudi rešitev za TL2 v obliki neskončne vsote. Člen [cos(μL ς)+pLsin(μL ς)] nadomestimo s členom Z0(μL ς), ker predstavljato povsem isto.
. (3-3-26)

3.3.2 Določitev pS in μS
V srednjem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-9: S3 in 3-1-9: S4. Upoštevamo še cos(-x) = cos(x) ter sin(-x) = -sin(x). Dobimo:

. (3-3-27)

Sledi
(3-2-28)
; (3-2-29)

Tudi v srednjem polju vpeljemo izraz
, (3-3-30)

rešitev TS2 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [cos(μS ς)+pSsin(μS ς)] nadomestimo s členom Z0(μS ς), ker predstavljato povsem isto.
(3-3-31)

3.3.3 Določitev AD, AL, BD in BL
Za določitev konstant AD in BD upoštevamo robna pogoja 3-1-7: D1 in 3-1-7: D2. Sledi:
, ko ,

(3-3-32)

, ko

(3-3-33)

V enačbah 3-3-32 in 3-3-33 smo tudi temperaturo okolice T0 zapisali kot neskončno vsoto ([2], str. 78).
, (3-3-34)
kjer

(3-3-35)
in

. (3-3-36)

Pri izračunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Kostante ADj in BDj določimo za vsak j = 1, 2… posebej. Ker gre za simetrično temperaturno polje okrog ravnine z = 0, sklepamo, da so konstante na levem delu valja, ALj, BLj, enake konstantam na desnem delu valja ADj in BDj. Sledi:
(3-3-37)
, (3-3-38)
kjer

3.3.4 Določitev AS in BS
Za določitev konstant AS in BS upoštevamo robna pogoja 3-1-9: S1 in 3-1-9: S2. Sledi:
, ko ,

(3-3-39)

, ko ,
(3-3-40)

V enačbah 3-3-39 in 3-3-40 smo spet temperaturo okolice T0 zapisali kot neskončno vsoto ([2], str 78).
, (3-3-41)
kjer

(3-3-42)
in

. (3-3-43)

Pri izračunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Konstante ASj in BSj določimo za vsak j = 1, 2… posebej. Sledi:
(3-3-44)
, (3-3-45)
kjer
.

Hiperbolični del rešitve temperaturnega polja je torej:
(3-3-46)
Kako so posamezne konstante izračunane, je vidno v celotnem poglavju 3.3.
Pri končni rešitvi seveda ne smemo pozabiti prišteti temperature T1, s katero valj segrevamo. Med dedukcijo temperaturnega polja smo jo izpustili zaradi lažjega reševanja.
3.4 Določitev temperaturnega polja na konkretnem primeru
Za primer vzemimo jekleni valj dimenzij, vidnih na sliki 4 in v tabeli 2. Izbrane veličine imajo takšne vrednosti, da si jih zlahka predstavljamo. Karakteristične vrednosti jekla so dobljene iz [3].

Slika 4: Dimenzije valja
Tabela 1: Podatki
Veličina Vrednost [ ]
l 50 mm
c 10 mm
d1 10 mm
d2 20 mm
T0 20 °C
T1 100 °C
α 5 W/m2K
λT 20 W/m2K
αT 1,2 x 10-5 K-1
E 210000 Mpa
ν 0,3

Koeficient toplotne prestopnosti α je značilen za mirujoči zrak pri 20°C, izbrane vrednosti λT, αT, E in ν pa so tipične za jeklo. Zaradi množice rešitev je dobljeno stacionarno temperaturno polje najbolje predstaviti grafično (slika5 in 6) in tabelarično (tabela 3). Rešitve so dobljene po postopku, opisanem v poglavju 3. Izkaže se, da bistveno na porazdelitev temperature vplivajo le prvi člen dobljenih neskončnih vsot. Drugi člen in vsi naslednji na rešitev praktično nimajo vpliva. Temperaturno polje torej lahko zapišemo kot

Konstante določimo po postopku opisanem v poglavju 3.

Slika 5: Analitična porazdelitev temperature po prerezu valja
Slika 6: Potek temperature po prerezu valja

Tabela 2: Vrednosti temperature [°C] segretega valja v stacionarnem stanju
z[mm] / r[mm] 5,0 6,3 7,6 8,8 10,0
0 92,418 92,424 92,420 92,409 92,390
15 94,013 94,016 94,014 94,006 93,994
28 96,416 96,417 96,416 96,412 6,406
37 98,456 98,457 98,457 98,455 98,453
40 99,210 99,346 99,541 99,769 100,000
41 99,448 99,543 99,679 99,838 100,000
42 99,614 99,680 99,776 99,887 100,000
43 99,729 99,776 99,843 99,921 100,000
44 99,810 99,842 99,889 99,944 100,000
45 99,865 99,888 99,922 99,960 100,000
46 99,903 99,920 99,944 99,972 100,000
47 99,929 99,941 99,958 99,979 100,000
48 99,945 99,954 99,968 99,984 100,000
49 99,954 99,962 99,973 99,986 100,000
50 99,956 99,964 99,975 99,987 100,000
51 99,954 99,962 99,973 99,986 100,000
52 99,945 99,954 99,968 99,984 100,000
53 99,929 99,941 99,958 99,979 100,000
54 99,903 99,920 99,944 99,972 100,000
55 99,865 99,888 99,922 99,960 100,000
56 99,810 99,842 99,889 99,944 100,000
57 99,729 99,776 99,843 99,921 100,000
58 99,614 99,680 99,776 99,887 100,000
59 99,448 99,543 99,679 99,838 100,000
60 99,210 99,346 99,541 99,769 100,000
63 98,456 98,457 98,457 98,455 98,453
72 96,416 96,417 96,416 96,412 6,406
85 94,013 94,016 94,014 94,006 93,994
100 92,418 92,424 92,420 92,409 92,390
4 Napetostno-deformacijsko stanje ([2], str. 163)
Določili bomo temperaturno napetosno-deformacijsko stanje brez upoštevanja vpetja in mehanskih obremenitev valja. Torej bomo upoštevali le partikularno temperaturno rešitev u(T) v enačbi 2-0-13. V celotnem preračunu bo veljalo

Ker je temperaturno polje osnosimetrično, so v cilindričnih koordinatah komponenta vektroja pomikov uθ, komponenti deformacijskega tenzorja εrθ, εθz in komponenti napetostnega tenzorja σrθ, σθz enake 0.
Komponenti vektorja pomikov ur in uz sta enaki (poglavje 2)
(4-0-1)
in
, (4-0-2)
kjer je Φ skalarna funkcija, ki ustreza Poissonovi enačbi (enačba 2-0-18) v cilindričnih koordinatah,
(4-0-3)
in jo imenujemo termoelastični pomični potencial. T0 je temperatura okolice, T pa temperatura telesa, dobljena po postopku, opisanem v poglavju 3.
S poznavanjem termoelastičnega pomičnega potenciala Φ hkrati že določimo partikularno temperaturno rešitev u(T), v našem primeru tudi u. Ko poznamo te pomike, lahko preko enačb 2-0-3 in 2-0-4 določimo še pripadajoče deformacije in napetosti,
,
, (4-0-4)
in
,
, (4-0-5)

4.1 Razvoj temperaturnega polja v Fourierovo vrsto
Ker smo pri določitvi temperaturnega polja valja radelili na tri dele, enako storimo pri določitvi napetostno-deformacijskega stanja (slika 3). Ponovno vpeljemo brezdimenzijske koordinate (stran 8). Opazujemo le desno polovico valja, ker je napetostno-deformacijsko stanje okrog ravnine z = 0 simetrično in vemo, da v levi polovici valja dobimo enake napetosti in deformacije. Imamo torej desni del valja, v katerem je 0 < ς < ς1 in srednji del valje, v katerem je 0 < ς < ς0. Najprej dobljeno temperaturno polje razvejimo v Fourierovo vrsto,
, , (4-1-1)
kjer je T0 temperatura okolice, Fourierovee koeficiente pa za vsak del valja izračunamo kot
(4-1-2)
(4-1-3)
(4-1-4)
(4-1-5)
, (4-1-6)
, (4-1-7)

V desnem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (enačba 3-4-1) enaki

(4-1-8)

V srednjem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (enačba 3-4-1) enaki

(4-1-9)

V srednjem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (enačba 3-4-1) enaki

(4-1-10)

(4-1-11)
4.2 Določitev koeficientov termoelastičnega potenciala
Ko poznamo transformirano temperaturno polje, izberemo termoelastični potencial, ki bo zadostil enačbi 4-0-3, v obliki
, . (4-2-1)

Koeficiente bni(ρ), i = D, S, določimo tako, da enačbi 4-1-1 in 4-2-1 vstavimo v enačbo 4-0-3. Sledi
, . (4-2-2)

Ko n = 0 (kni = 0), dobimo
, , (4-2-3)

če pa n > 1, je homogena oblika enačbe 4-2-2 Besslova enačba ničtega reda. Nehomogena oblika enačbe se lahko reši z metodo variacije parametrov. To nam da iskano partikularno rešitev

; (4-2-4)

Pri rešitvi smo uporabili znano zvezo iz teorije Besslovih funkcij,
. (4-2-5)

Koeficienti b0(ρ), bnD(ρ), b0S(ρ) in bnS(ρ) so torej

(4-2-6)

(4-2-7)

(4-2-8)

(4-2-9)

4.3 Izračun pomikov, deformacij in napetosti
Izračunane koebficiente vstavimo v enačbo 4-2-1 za izračun termoelastičnega potenciala, tega pa vstavimo v enačbe 4-0-1, 4-0-2, 4-0-4 in 4-0-5 ter izračunamo pomike, deformacije in napetosti v valju.
(4-3-1)
(4-3-2)
.

(4-3-3)
(4-3-4)
(4-3-5)
(4-3-6)
.

(4-3-7)
(4-3-8)
(4-3-9)
(4-3-10)
.

4.4 Določitev napetostno-deformacijskega stanja na konkretnem primeru
Za primer ponovno vzamemo jekleni valj dimenzij, vidnih na sliki 4 in v tabeli 2, za katerega smo že izračunali temperaturno polje. Zaradi množice rešitev je dobljeno napetosno-deformacijsko stanje nabolje predstaviti le grafično (slike 7 do 16). Rešitve so dobljene po postopku, opisanem v poglavju 4. Pri neskončnih vsotah vzamemo prvih 100 členov. Izkaže se, da to zadostuje za dober popis napetostno-deformacijskega stanja. Izračun je narejen v programu Mathematica, viden pa je v prilogi A.
Slika 7: Analitično določeni pomiki v radialni smeri (ur [mm])
Slika 8: Analitično določeni pomiki v aksialni smeri (uz [mm])

Slika 9: Analitično določene deformacije v radialni smeri (εr [-])

Slika 10: Analitično določene deformacije v cirkularni smeri (εθ [-])

Slika 11: Analitično določene deformacije v aksialni smeri (εz [-])
Slika 12: Analitično določene deformacije v radialno-aksialni smeri (εrz [-])

Slika 13: Analitično določene napetosti v radialni smeri (σr [MPa])
Slika 14: Analitično določene napetosti v cirkularni smeri (σθ [MPa])

Slika 15: Analitično določene napetosti v aksialni smeri (σz [MPa])
Slika 16: Analitično določene napetosti v radialno-aksialni smeri (σrz [MPa])

5 Numerični model
Za numerično analizo uporabimo programski paket ANSYS. Pri numeričnem izračunu izberemo valj enakih dimenzij kot pri testnem analitičnem modelu (slika 4), podake pa dobimo iz tabele 1. Najprej izvedemo temperaturno analizo, nato pa z razultati temperaturne analize izvedemo še trdnostno analizo.
5.1 Temperaturna analiza
Valj pomrežimo z elementi SOLID90, ki so primerni za temperaturno analizo. Na površini pa definiramo elemente SURF152, ki so primerni za definicijo robnih pogojev (temperature in konvekcije). Mreža je vidna na sliki 17, definirani robni pogoji pa na sliki 18.

Slika 17: Pomrežen valj

Slika 18: Robni pogoji (oranžna barva predstavlja definirano temperaturo, rdeča pa definirano konvekcijo)
Izračunano stacionarno temperaturno polje prikažemo na celotnem valju in na vzdolžnem prerezu valja (sliki 19 in 20).

Slika 19: Numerično določeno temperaturno polje
Slika 20:Numerično določeno temperaturno polje v prerezu
5.2 Trdnostna analiza
Pri trdnostni analizi obdržimo enako mrežo kot pri temeraturni analizi (slika 17), zamenjamo le tič elementov v SOLID45. Valj na eni strani fiksiramo z vzmetmi z zanemarljivo togostjo. To moramo storiti, da omogočimo konvekcijo rešitve. Obremenitev predstavlja numerično izračunano temperaturno polje (slika 5).
Izračunani pomiki v radialni smeri (ur) so vidni na sliki 21, pomiki v aksialni smeri (uz) so vidni na sliki 22, deformacije v radialni smeri (εr) so vidne na sliki 23, deformacije v cirkularni smeri (εθ) sdo vidne na

Seminar:
Določitev termoelastičnega napetostno-deformacijskega stanja noslica lokalno obremenjenega s temperaturno obremenitvijo

Povzetek
Določitev temperaturnega polja in napetostno-deformacijskega stanja sredinsko segretega valja ne predstavlja zahtevnega fizikalnega problema, matematično pa je izjemno kompleksen. Primerjava dobljenih rezultatov analitičnega in numeričnega preračuna je navdušujoča. Odstopanja so. Pojavijo se zaradi poenostavitev pri analitičnem računanju temperaturnega polja in zaradi končne izbire elementov dobljenih neskončnih vsot. Nekaj je seveda tudi numerične napake pri rešitvi z metodo končnih elementov.

Kazalo
1 Uvod 6
2 Teoretične osnove 7
3 Temperaturno polje 10
3.1 Razdelitev rešitve 11
3.2 Eliptična rešitev 13
3.2.1 Določitev pD in βD 15
3.2.2 Določitev pL in βL 17
3.2.3 Določitev pS in βS 18
3.2.4 Določitev CL, CD, CS, DL, DD in DS 19
3.3 Hiperbolična rešitev 22
3.3.1 Določitev pD, pL, μD in μL 23
3.3.2 Določitev pS in μS 25
3.3.3 Določitev AD, AL, BD in BL 26
3.3.4 Določitev AS in BS 28
3.4 Določitev temperaturnega polja na konkretnem primeru 31
4 Napetostno-deformacijsko stanje ([2], str. 163) 34
4.1 Razvoj temperaturnega polja v Fourierovo vrsto 35
4.2 Določitev koeficientov termoelastičnega potenciala 38
4.3 Izračun pomikov, deformacij in napetosti 41
4.4 Določitev napetostno-deformacijskega stanja na konkretnem primeru 42
5 Numerični model 47
5.1 Temperaturna analiza 47
5.2 Trdnostna analiza 49
6 Zaključek 53
7 Literatura 54
8 Priloga: Izračun napetostno-deformacijskega stanja v programskem paketu Mathematica 55
Slike
Slika 1: Valj – zelo poenostavljen model nosilca 6
Slika 2: Dimenzije valja 6
Slika 3: Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda 10
Slika 4: Dimenzije valja 31
Slika 5: Analitična porazdelitev temperature po prerezu valja 32
Slika 6: Potek temperature po prerezu valja 32
Slika 7: Analitično določeni pomiki v radialni smeri (ur [mm]) 42
Slika 8: Analitično določeni pomiki v aksialni smeri (uz [mm]) 42
Slika 9: Analitično določene deformacije v radialni smeri (εr [-]) 43
Slika 10: Analitično določene deformacije v cirkularni smeri (εθ [-]) 43
Slika 11: Analitično določene deformacije v aksialni smeri (εz [-]) 44
Slika 12: Analitično določene deformacije v radialno-aksialni smeri (εrz [-]) 44
Slika 13: Analitično določene napetosti v radialni smeri (σr [MPa]) 45
Slika 14: Analitično določene napetosti v cirkularni smeri (σθ [MPa]) 45
Slika 15: Analitično določene napetosti v aksialni smeri (σz [MPa]) 46
Slika 16: Analitično določene napetosti v radialno-aksialni smeri (σrz [MPa]) 46
Slika 17: Pomrežen valj 47
Slika 18: Robni pogoji 47
Slika 19: Numerično določeno temperaturno polje 48
Slika 20:Numerično določeno temperaturno polje v prerezu 48
Slika 21: Numerično določeni pomiki v radialni smeri (ur [mm]) 49
Slika 22: Numerično določeni pomiki v aksialni smeri (uz [mm]) 49
Slika 23: Numerično določene deformacije v radialni smeri (εr [-] ) 50
Slika 24: Numerično določene deformacije v cirkularni smeri (εθ [-]) 50
Slika 25: Numerično določene deformacije v aksialni smeri (εz [-]) 50
Slika 26: Numerično določene deformacije v radialno-aksialni smeri (εrz [-]) 51
Slika 27: Numerično določene napetosti v radialni smeri (σr [MPa]) 51
Slika 28: Numerično določene napetosti v cirkularni smeri (σθ [MPa]) 51
Slika 29: Numerično določene napetosti v aksialni smeri (σz [MPa]) 52
Slika 30: Numerično določene napetosti v radialno-aksialni smeri (σrz [MPa]) 52

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Pomen Enote

napetostni tenzor

deformacijski tenzor

vektor pomikov

temperatura

pozicija

čas

elastični modul

Poissonovo število

prva Lamejeva konstanta

druga Lamejeva konstanta

koeficient temperaturne razteznosti

koeficient toplotne prevodnosti

koeficient toplotne prehodnosti

koeficient toplotne prestopnosti

recipročen normiran koeficient toplotne prehodnosti

vektor obremenitev

harmonični vektor

harmonični skalar

pozicijski vektor

termoelastični pomični potencial

temperatura v levem polju

temperatura v desnem polju

temperatura v srednjem polju

temperatura okolice

radialna koordianta

aksialna koordinata

brezdimenzijska radialna koordinata

brezdimenzijska aksialna koordinata

1 Uvod
Za valj na sliki 1, ki predstavlja zelo poenostavljen model nosilca obremenjenega z lokalno temperaturno obremenitvijo, ki je prosto prosto podprt, je potrebno analitično določiti temperaturno polje in pripadajoče napetostno-deformacijsko stanje. Analitično dobljeni rezultat je nato potrebno primerjati z numeričnim, dobljenim s programskim paketom ANSYS.

Slika 1: Valj – zelo poenostavljen model nosilca

Poenostavljen model torej predstavlja valj dolžine 2l, notranjega premera d1, zunanjega premera d2 in začetne temperature T0, ki ga na obodu dolžine 2c grejemo s temperaturo T1 (slika 2).

Slika 2: Dimenzije valja

Za stacionaren primer bom torej iračunal temperaturno polje T(r,z) nato pa še pripadajoč napetostni tenzor σij, deformacijski tenzor εij in vektor premikov ui.

2 Teoretične osnove
V splošnem obravnavamo pri termoelastičnem problemu šestnajst neznanih funkcij pozicije xk in časa t, to je šest napetostnih komponent σij, šest deformacijskih komponent εij, tri komponente vektorja premikov ui in temperaturo T. Štiri skupine enačb, ki nam te veličine popisujejo, so:
• tri gibalne enačbe
, (2-0-1)
• enačba prenosa toplote
, (2-0-2)
• šest napetostno-deformacijskih zvez
, (2-0-3)
• šest zvez med deformacijami in pomiki
. (2-0 4)

Če notranja generacija toplote ni prisotna oz. zunanja generacija toplote povzroča neenakomerno segrevanje, lahko predpostavimo, da je temperaturno polje neodvisno od deformacij zaradi temperature. V tem primeru odpade člen v enačbi (2-0-2). Pod običajnimi pogoji prenosa toplote je hitrost spreminjanja temperature v primerjavi s hitrostjo zvoka v materialu majhna, zato ne upoštevamo vztrajnostnih sil zaradi gibanja delcev med spreminjanjem temperature. Odpade nam člen v enačbi (2-0-1). Če upoštevamo omenjeni predpostavki, pravimo, da je termoelastični problem kvaistatičen. Če upoštevamo še, da je temperaturno polje časovno neodvisno, odpade tudi člen v enačbi (2-0-2). Takšen termoelastičen problem je stacionaren.
Prvi del rešitve stacionarnega termoelastičnega problema je določitev temperaturnega polja T. določeno je s ti. Laplaceovo diferencialno enačbo (sledi iz enačbe (2-0-2)),
, (2-0-5)
in robnimi pogoji prenosa toplote med površino telesa in okolico. V teoriji prenosa toplote privzamemo sledeče idealizirane robne pogoje:
• Predpisana površinska temperatura
, (2-0-6)
kjer je xk točka na površini telesa, f(xk) pa je dana funkcija
• Predpisan toplotni pretok iz telesa v okolico
, (2-0-7)
kjer je n normala iz površine telesa v točki xk in
• Predpisana temperatura okolice in zakon konvektivne izmenjave toplote med površino in okoliškim medijem
, (2-0-8)
kjer je α površinski prestopnostni koeficient.
V telesu je edini možni prenos toplote s konduktivnostjo (prevodom), na površini telesa pa se lahko toplota prenaša s konduktivnostjo, konvekcijo (prestopom) ali z radiacijo (sevanjem).
Drugi del rešitve stacionarnega termoelastičnega problema je določitev pripadajočega polja termičnih napetosti. Problem je sestavljen iz določitve preostalih petnajstih veličin σij , εij in ui, ki jih določimo po preostalih enačbah (2-0-1), (2-0-3) in (2-0-4). Ko rešujemo termoelastične probleme, moramo najprej izbrati pomike ui ali napetosti σij kot odisne spremenljivke. Glede na izbiro rešujemo termoelastični problem z neodvisnimi spremenljivkami. Splošna rešitev s pomiki kot neodvisnimi spremenljivkami je dana s Papkovičevo enačbo (2-0-14), za katero se izkaže, da je najbolj ugodna, ker je matematično relativno enostavna.
Termoelastični problem, ki sledi iz enačb (2-0-1), (2-0-2), (2-0-3) in (2-0-4), z osnovno enačbo in pomiki kot neodvisnimi spremenljivkami zapišemo kot
. (2-0-9)
Funkcija T je poznana iz rešitve pripadajočega problema prenosa toplote.
Robne pogoje pomikov upoštevamo kot
. (2-0-10)
Če zapišemo še enačbo (2-0-3) s pomiki in upoštevamo zvezo
, (2-0-11)
dobimo napetostne robne pogoje
. (2-0-12)
Splošna rešitev enačbe (2-0-9) ima obliko
, (2-0-13)
kjer je splošna rešitev homogenega dela enačbe (2-0-9) in dejansko predstavlja rešitev v odvisnosti od robnih pogojev pomikov problema, je temperaturna partikularna rešitev enačbe (2-0-9), ki predstavlja F=0 in predstavlja spremembo pomikov zaradi temperaturne spremembe, pa je mehanska partikularna rešitev enačbe (2-0-9), ki predstavlja T=0 in predstavlja spremembo pomikov zaradi mehanske obremenitve.
Splošno rešitev homogenega dela, , je predstavil Papkovič in je oblike
, (2-0-14)
kjer je B harmonični vektor, ki ustreza enačbi
, (2-0-15)
B0 je harmonični skalar, ki ustreza enačbi
, (2-0-16)
in r pozicijski vektor.
Partikularno temperaturno rešitev, , pa dobimo s Papkovič-Goddierovo enačbo oblike
, (2-0-17)
kjer je Φ skalarna funkcija, ki ustreza Poissonovi enačbi
, (2-0-18)
in jo imenujemo termoelastični pomični potencial.
S poznavanjem teemoelastičnega pomičnega potenciala Φ hkrati že določimo partikularno temperaturno rešitev . Ko poznamo te pomike, lahko določimo napetosti zaradi temperaturne spremembe, preko napetostno-deformacijskih zvez (2-0-3) pa določimo še pripadajoče deformacije.
3 Temperaturno polje
Za v uvodu opisani problem najprej določimo temperaturno polje. Valj razdelimo na tri dele (slika 3). Na srednjem delu na zunanjem obodu poznamo temperaturo, povsod drugod pa prenos poteka s konvekcijo na okolico. Predpostavimo, da ima okolica ves čas temperaturo T0, koeficient toplotne prestopnosti α ni odvisen od temperature in je ves čas konstanten, konstaneten pa je tudi koeficient toplotne prevodnosti λ T.

Slika 3: Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda
Na obodu valja imamo torej konvektivne robne pogoje, med razdeljenimi deli pa upoštevamo konduktivne pogoje konsistentnega prehoda. Temperaturno polje je osno simetrično, simetrično pa je tudi glede na ravnino z = 0.
Temperaturno polje razdelimo po delih. V levem delu imamo TL, v desnem TD, v srednjem pa TS. Vpeljemo tudi brezdimenzijske koordinate
, , , , (3-0-1)
in zapis recipročnega normalnega koeficienta toplotne prehodnosti
. (3-0-2)
Določitev stacionarnega temperaturnega polja v vsakem delu valja nam opisuje Laplacova diferencialna enačba (2-0-5), ki se v cilindričnih koordinatah glasi
, . (3-0-3)
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-4)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem desnem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem desnem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja konvekcijo na skrajno desnem robu valja (z = l), četrti pa predstavlja enako temperaturo na desnem in srednjem delu valja (z = c).
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-5)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem levem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem levem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja konvekcijo na skrajno levem robu valja (z = -l) )(odtod -, ker je normala glede na z obrnjena negativno), četrti pa predstavlja enako temperaturo na levem in srednjem delu valja (z = -c).
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-6)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem sredjem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem srednjem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja enako kondukcijo med levim in srednjim delom valja (z = -c), četrti pa predstavlja enako kondukcijo med srednjim in desnim delom valja (z = c).

3.1 Razdelitev rešitve
Rešitev enačbe (3-3) je sesteavljena iz eliptičnega in hiperboličnega dela, zato bom njeno rešitev zapisal v obliki
, , (3-1-1)
kjer bo Ti1, i = L, D, S, eliptična rešitev enačbe
, , (3 1-2)

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko
, ko , (3 1-3)

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-4)

in z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-5)
Ti2, i = L, D, S, bo hiperbolična rešitev enačbe
, , (3 1-6)
z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-7)

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-8)

in z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3 1-9)

Pri obeh rešitvah predpostavimo T1 = 0 zaradi lažjega reševanja, na koncu pa k dobljenemu rezultatu prištejemo T1. S to predpostavko ne vplivamo na splošni del rešitve.

3.2 Eliptična rešitev
Rešitev enačbe 3-1-2 poiščemo z multiplikativnim osnutkom ([1], str. 402). Zapišemo
(3 2-1)
in to vstavimo v enačbo 3-1-2. Dobimo
. (3-2-2)
Vpeljemo parameter β,
(3-2-3)
in dobimo dve ločeni diferencialni enačbi,
(3-2-4)
in
. (3-2-5)

Rešitev enačbe 3-2-4 je
, (3-2-6)
kjer je J0(x) Besslova funkcija ničtega reda in prve vrste, Y0(x) pa Besslova funkcija ničtega reda in druge vrste. Rešitev enačbe 3-2-5 je
. (3-2-7)

Ponovne upoštevamo multiplikativni osnutek 3-2-1 in dobimo
. (3-2-8)
Vpeljemo nove konstante,
, , . (3-2-9)
Dobljena eliptična rešitev mora veljati v vsakem delu valja. Dobimo torej tri rešitve
,
,
. (3-2-10)

Iz robnih pogojev je potrebno izračunati še neznane konstante CL, CD, CS, DL, DS, βL, βD, βS, pL, pD, pS.
Najprej se lotimo določitve konstant βL, βD, βS, pL, pD in pS. Če temperaturno polje, popisano z enačbo
, , (3-2-11)
odvajamo parcilano po ρ, dobimo

, , (3-2-12)
kjer je J1(x) Besslova funkcija prvega reda in prve vrste, Y1(x) pa Besslova funkcija prvega reda in druge vrste. Veljata enakosti
, (3-2-13)
Če temperaturno polje odvajamo parcialno po ς, dobimo

, , (3-2-14)
kjer veljata enakosti
, (3-2-15)

3.2.1 Določitev pD in βD
V desnem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-3: D1 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-16)

Delimo z in izrazimo pD.

. (3-2-17)

Upoštevamo robni pogoj 3-1-3: D2 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-18)

Delimo z in ponovno izrazimo pD.

. (3-2-19)

Izenačimo enačbi 3-2-17 in 3-2-19 in določimo βD.
. (3-2-20)

Po dolgotrajnem računanju in vpeljavi
,
,
(3-2-21)

dobimo transcendentno enačbo, katere rešitev za ρ = 1 predstavljajo vrednosti βDn, n = 1, 2…
(3-2-22)

Rešitev TD1 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [J0(βDρ)+pDY0(βDρ)] nadomestimo s členom u0(βDnρ), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-23)

3.2.2 Določitev pL in βL
V levem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-4: L1 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-24)

Delimo z in izrazimo pL.

. (3-2-25)

Upoštevamo robni pogoj 3-1-4: L2 in dobimo:
, ko ,

. (3-2-26)

Ponovno delimo z in izrazimo pL.

. (3-2-27)

Izenačimo enačbi 3-2-25 in 3-2-27 in določimo βL.
. (3-2-28)

Po dolgotrajnem računanju in vpeljavi

(3-2-29)

dobimo transcendentno enačbo, katere rešitev za ρ = 1 predstavljajo vrednosti βLn, n = 1, 2…
(3-2-30)

Rešitev TL1 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [J0(βLρ)+pLY0(βLρ)] nadomestimo s členom u0(βLnρ), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-31)

3.2.3 Določitev pS in βS
V srednjem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-5: S1 in dobimo:
, ko ,

(3-2-32)

Delimo z in izrazimo pS.

. (3-2-33)

Upoštevamo robni pogoj 3-1-5: S2 in dobimo:
, ko ,

Ponovno delimo z in izrazimo pS.

(3-2-34)
Izenačimo enačbi 3-2-33 in 3-2-34 in določimo βS.
(3-2-35)

Po računanju in vpeljavi

(3-2-36)

dobimo transcendentno enačbo, katere rešitev za ρ = 1 predstavljajo vrednosti βSn, n = 1, 2…
. (3-2-37)

Rešitev TS1 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [J0(βSρ)+pSY0(βSρ)] nadomestimo s členom u0(βSnρ), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-38)
3.2.4 Določitev CL, CD, CS, DL, DD in DS
Za določitev preostalih konstant upoštevamo najprej pogoja konsistentnega prehoda 3-1-3: D4 in 3-1-4: L4.
, ko in , ko (3-2-39)
Ker gre za simetrično temperaturno polje okrog ravnine z = 0, lahko zapišemo

(3-2-40)
in

(3-2-41)

Tu smo si privoščili poenostavitev in predpostavili, da u0(βDnρ) in u0(βSnρ) predstavljata priblićno enako vrednost (kar seveda ni nujno res) in smo ju pokrajšali.
Iz konduktivnega pogoja konsistentnega prehoda 3-1-5: S4 dobimo
, ko (3-2-42)

Tu smo si privoščili poenostavitev in predpostavili, da u0(βDnρ) in u0(βSnρ) predstavljata priblićno enako vrednost (kar seveda ni nujno res) in smo ju pokrajšali.
Uporabimo še konvektivni robni pogoj 3-1-3: D3 in dobimo
, ko

(3-2-43)

V enačbi 3-2-42 smo tudi temperaturo okolice T0 zapisali kot neskončno vrsto ([2], str. 75).
(3-2-44)
kjer

(3-2-45)
in

(3-2-46)

Dobili smo štiri enačbe (3-2-40, 3-2-41, 3-2-42 in 3-2-43), iz katerih lahko določimo konstante CDn, DDn, CSn in DSn za vsak n = 1,2… posebej. Ker gre za simetrično temperaturno polje okrog ravnine z = 0, sklepamo, da so konstante na levem delu valja, CLn, DLn, enake konstantam na desnem delu valja, CDn in DDn. Pri izračunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Sledi:
(3-2-47)
(3-2-48)
(3-2-49)
(3-2-50)
Eliptični del rešitve temperaturnega polje je torej:
(3-2-51)
Kako so posamezne konstante izračunane, je vidno v celotnem poglavju 3.2.

3.3 Hiperbolična rešitev
Rešitev enačbe 3-1-6 poiščemo z multiplikativnim osnutkom ([1], str 402). Zapišemo
(3-3-1)
in to vstavimo v enačbo 3-1-6. Dobimo
(3-3-2)
Vpeljemo parameter μ,
(3-3-3)
in dobimo dve ločeni diferencialni enačbi,
(3-3-4)
in
(3-3-5)
Rešitev enačbe 3-3-4 je
(3-3-6)
kjer je I0(x) modificirana Besslova funkcija ničtega reda in prve vrste, K0(x) pa modificirana Besslova funkcija ničtega reda in druge vrste. Rešitev enačbe 3-3-5 je
. (3-3-7)
Ponovno upoštevamo multiplikativni osnutek 3-1-1 in dobimo
. (3-3-8)
Vpeljemo nove konstante,
, , . (3-3-9)
Dobljea hiperbolična rešitev mora veljati v vsakem delu valja. Dobimo torej tri rešitve
,
,
. (3-3-10)

Iz robnih pogojev je potrebno izračunati še neznane konstante AL, AD, AS, BL, BD, BS, μL, μD, μS, pD in pS.
Najprej se lotimo določitve konstant μL, μD, μS, pD in pS. Če temperaturno polje, popisano z enačbo
, (3-3-11)
Odvajamo parcialno po ρ, dobimo

, (3-3-12)
Kjer je I1(x) modificirana Besslova funkcija prvega reda in prve vrste, K1(x) pa modificirana Besslova funkcija prvega reda in druge vrste. Veljata enakosti
, . (3-3-13)
Če temperaturno polje odvajamo parcialno po ς, dobimo

, , (3-3-14)
kjer veljata enakosti
, . (3-3-15)
3.3.1 Določitev pD, pL, μD in μL
V desnem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-7: D3 in dobimo:
, ko

. (3-3-16)

Delimo z in izrazimo pD.

(3-3-17)
V dlevem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-8: L3 in dobimo:
, ko

. (3-3-18)

Delimo z in izrazimo pL in upoštevamo cos(-x) = cos(x) ter sin(-x) = -sin(x).

(3-3-19)

Iz pogojev konsistentnega prehoda 3-1-7: D4 in 3-1-8: L4 sledi
(3-3-20)

zato lahko enačbi 3-3-17 in 3-3-19 izenačimo in dobimo

(3-3-21)

Na obeh straneh enačbe 3-3-21 izpostavimo μD in vpeljemo izraza
(3-3-22)
. (3-3-23)

Dobimo transcendentno enačbo, katere rašitev za ς = ς1 predstaljajo vrednosti μDj, j = 1, 2…

(3-3-24)

Rešitev TD2 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [cos(μD ς)+pDsin(μD ς)] nadomestimo s členom Z0(μD ς), ker predstavljato povsem isto.
. (3-3-25)

Ker imamo simetrično temperatuno polje okoli ravnine z = 0, lahko upoštevamo enačbo 3-3-20 in zapišemo tudi rešitev za TL2 v obliki neskončne vsote. Člen [cos(μL ς)+pLsin(μL ς)] nadomestimo s členom Z0(μL ς), ker predstavljato povsem isto.
. (3-3-26)

3.3.2 Določitev pS in μS
V srednjem delu upoštevamo robni pogoj 3-1-9: S3 in 3-1-9: S4. Upoštevamo še cos(-x) = cos(x) ter sin(-x) = -sin(x). Dobimo:

. (3-3-27)

Sledi
(3-2-28)
; (3-2-29)

Tudi v srednjem polju vpeljemo izraz
, (3-3-30)

rešitev TS2 zapišemo v obliki neskončne vsote. Člen [cos(μS ς)+pSsin(μS ς)] nadomestimo s členom Z0(μS ς), ker predstavljato povsem isto.
(3-3-31)

3.3.3 Določitev AD, AL, BD in BL
Za določitev konstant AD in BD upoštevamo robna pogoja 3-1-7: D1 in 3-1-7: D2. Sledi:
, ko ,

(3-3-32)

, ko

(3-3-33)

V enačbah 3-3-32 in 3-3-33 smo tudi temperaturo okolice T0 zapisali kot neskončno vsoto ([2], str. 78).
, (3-3-34)
kjer

(3-3-35)
in

. (3-3-36)

Pri izračunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Kostante ADj in BDj določimo za vsak j = 1, 2… posebej. Ker gre za simetrično temperaturno polje okrog ravnine z = 0, sklepamo, da so konstante na levem delu valja, ALj, BLj, enake konstantam na desnem delu valja ADj in BDj. Sledi:
(3-3-37)
, (3-3-38)
kjer

3.3.4 Določitev AS in BS
Za določitev konstant AS in BS upoštevamo robna pogoja 3-1-9: S1 in 3-1-9: S2. Sledi:
, ko ,

(3-3-39)

, ko ,
(3-3-40)

V enačbah 3-3-39 in 3-3-40 smo spet temperaturo okolice T0 zapisali kot neskončno vsoto ([2], str 78).
, (3-3-41)
kjer

(3-3-42)
in

. (3-3-43)

Pri izračunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Konstante ASj in BSj določimo za vsak j = 1, 2… posebej. Sledi:
(3-3-44)
, (3-3-45)
kjer
.

Hiperbolični del rešitve temperaturnega polja je torej:
(3-3-46)
Kako so posamezne konstante izračunane, je vidno v celotnem poglavju 3.3.
Pri končni rešitvi seveda ne smemo pozabiti prišteti temperature T1, s katero valj segrevamo. Med dedukcijo temperaturnega polja smo jo izpustili zaradi lažjega reševanja.
3.4 Določitev temperaturnega polja na konkretnem primeru
Za primer vzemimo jekleni valj dimenzij, vidnih na sliki 4 in v tabeli 2. Izbrane veličine imajo takšne vrednosti, da si jih zlahka predstavljamo. Karakteristične vrednosti jekla so dobljene iz [3].

Slika 4: Dimenzije valja
Tabela 1: Podatki
Veličina Vrednost [ ]
l 50 mm
c 10 mm
d1 10 mm
d2 20 mm
T0 20 °C
T1 100 °C
α 5 W/m2K
λT 20 W/m2K
αT 1,2 x 10-5 K-1
E 210000 Mpa
ν 0,3

Koeficient toplotne prestopnosti α je značilen za mirujoči zrak pri 20°C, izbrane vrednosti λT, αT, E in ν pa so tipične za jeklo. Zaradi množice rešitev je dobljeno stacionarno temperaturno polje najbolje predstaviti grafično (slika5 in 6) in tabelarično (tabela 3). Rešitve so dobljene po postopku, opisanem v poglavju 3. Izkaže se, da bistveno na porazdelitev temperature vplivajo le prvi člen dobljenih neskončnih vsot. Drugi člen in vsi naslednji na rešitev praktično nimajo vpliva. Temperaturno polje torej lahko zapišemo kot

Konstante določimo po postopku opisanem v poglavju 3.

Slika 5: Analitična porazdelitev temperature po prerezu valja
Slika 6: Potek temperature po prerezu valja

Tabela 2: Vrednosti temperature [°C] segretega valja v stacionarnem stanju
z[mm] / r[mm] 5,0 6,3 7,6 8,8 10,0
0 92,418 92,424 92,420 92,409 92,390
15 94,013 94,016 94,014 94,006 93,994
28 96,416 96,417 96,416 96,412 6,406
37 98,456 98,457 98,457 98,455 98,453
40 99,210 99,346 99,541 99,769 100,000
41 99,448 99,543 99,679 99,838 100,000
42 99,614 99,680 99,776 99,887 100,000
43 99,729 99,776 99,843 99,921 100,000
44 99,810 99,842 99,889 99,944 100,000
45 99,865 99,888 99,922 99,960 100,000
46 99,903 99,920 99,944 99,972 100,000
47 99,929 99,941 99,958 99,979 100,000
48 99,945 99,954 99,968 99,984 100,000
49 99,954 99,962 99,973 99,986 100,000
50 99,956 99,964 99,975 99,987 100,000
51 99,954 99,962 99,973 99,986 100,000
52 99,945 99,954 99,968 99,984 100,000
53 99,929 99,941 99,958 99,979 100,000
54 99,903 99,920 99,944 99,972 100,000
55 99,865 99,888 99,922 99,960 100,000
56 99,810 99,842 99,889 99,944 100,000
57 99,729 99,776 99,843 99,921 100,000
58 99,614 99,680 99,776 99,887 100,000
59 99,448 99,543 99,679 99,838 100,000
60 99,210 99,346 99,541 99,769 100,000
63 98,456 98,457 98,457 98,455 98,453
72 96,416 96,417 96,416 96,412 6,406
85 94,013 94,016 94,014 94,006 93,994
100 92,418 92,424 92,420 92,409 92,390
4 Napetostno-deformacijsko stanje ([2], str. 163)
Določili bomo temperaturno napetosno-deformacijsko stanje brez upoštevanja vpetja in mehanskih obremenitev valja. Torej bomo upoštevali le partikularno temperaturno rešitev u(T) v enačbi 2-0-13. V celotnem preračunu bo veljalo

Ker je temperaturno polje osnosimetrično, so v cilindričnih koordinatah komponenta vektroja pomikov uθ, komponenti deformacijskega tenzorja εrθ, εθz in komponenti napetostnega tenzorja σrθ, σθz enake 0.
Komponenti vektorja pomikov ur in uz sta enaki (poglavje 2)
(4-0-1)
in
, (4-0-2)
kjer je Φ skalarna funkcija, ki ustreza Poissonovi enačbi (enačba 2-0-18) v cilindričnih koordinatah,
(4-0-3)
in jo imenujemo termoelastični pomični potencial. T0 je temperatura okolice, T pa temperatura telesa, dobljena po postopku, opisanem v poglavju 3.
S poznavanjem termoelastičnega pomičnega potenciala Φ hkrati že določimo partikularno temperaturno rešitev u(T), v našem primeru tudi u. Ko poznamo te pomike, lahko preko enačb 2-0-3 in 2-0-4 določimo še pripadajoče deformacije in napetosti,
,
, (4-0-4)
in
,
, (4-0-5)

4.1 Razvoj temperaturnega polja v Fourierovo vrsto
Ker smo pri določitvi temperaturnega polja valja radelili na tri dele, enako storimo pri določitvi napetostno-deformacijskega stanja (slika 3). Ponovno vpeljemo brezdimenzijske koordinate (stran 8). Opazujemo le desno polovico valja, ker je napetostno-deformacijsko stanje okrog ravnine z = 0 simetrično in vemo, da v levi polovici valja dobimo enake napetosti in deformacije. Imamo torej desni del valja, v katerem je 0 < ς < ς1 in srednji del valje, v katerem je 0 < ς < ς0. Najprej dobljeno temperaturno polje razvejimo v Fourierovo vrsto,
, , (4-1-1)
kjer je T0 temperatura okolice, Fourierovee koeficiente pa za vsak del valja izračunamo kot
(4-1-2)
(4-1-3)
(4-1-4)
(4-1-5)
, (4-1-6)
, (4-1-7)

V desnem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (enačba 3-4-1) enaki

(4-1-8)

V srednjem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (enačba 3-4-1) enaki

(4-1-9)

V srednjem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (enačba 3-4-1) enaki

(4-1-10)

(4-1-11)
4.2 Določitev koeficientov termoelastičnega potenciala
Ko poznamo transformirano temperaturno polje, izberemo termoelastični potencial, ki bo zadostil enačbi 4-0-3, v obliki
, . (4-2-1)

Koeficiente bni(ρ), i = D, S, določimo tako, da enačbi 4-1-1 in 4-2-1 vstavimo v enačbo 4-0-3. Sledi
, . (4-2-2)

Ko n = 0 (kni = 0), dobimo
, , (4-2-3)

če pa n > 1, je homogena oblika enačbe 4-2-2 Besslova enačba ničtega reda. Nehomogena oblika enačbe se lahko reši z metodo variacije parametrov. To nam da iskano partikularno rešitev

; (4-2-4)

Pri rešitvi smo uporabili znano zvezo iz teorije Besslovih funkcij,
. (4-2-5)

Koeficienti b0(ρ), bnD(ρ), b0S(ρ) in bnS(ρ) so torej

(4-2-6)

(4-2-7)

(4-2-8)

(4-2-9)

4.3 Izračun pomikov, deformacij in napetosti
Izračunane koebficiente vstavimo v enačbo 4-2-1 za izračun termoelastičnega potenciala, tega pa vstavimo v enačbe 4-0-1, 4-0-2, 4-0-4 in 4-0-5 ter izračunamo pomike, deformacije in napetosti v valju.
(4-3-1)
(4-3-2)
.

(4-3-3)
(4-3-4)
(4-3-5)
(4-3-6)
.

(4-3-7)
(4-3-8)
(4-3-9)
(4-3-10)
.

4.4 Določitev napetostno-deformacijskega stanja na konkretnem primeru
Za primer ponovno vzamemo jekleni valj dimenzij, vidnih na sliki 4 in v tabeli 2, za katerega smo že izračunali temperaturno polje. Zaradi množice rešitev je dobljeno napetosno-deformacijsko stanje nabolje predstaviti le grafično (slike 7 do 16). Rešitve so dobljene po postopku, opisanem v poglavju 4. Pri neskončnih vsotah vzamemo prvih 100 členov. Izkaže se, da to zadostuje za dober popis napetostno-deformacijskega stanja. Izračun je narejen v programu Mathematica, viden pa je v prilogi A.
Slika 7: Analitično določeni pomiki v radialni smeri (ur [mm])
Slika 8: Analitično določeni pomiki v aksialni smeri (uz [mm])

Slika 9: Analitično določene deformacije v radialni smeri (εr [-])

Slika 10: Analitično določene deformacije v cirkularni smeri (εθ [-])

Slika 11: Analitično določene deformacije v aksialni smeri (εz [-])
Slika 12: Analitično določene deformacije v radialno-aksialni smeri (εrz [-])

Slika 13: Analitično določene napetosti v radialni smeri (σr [MPa])
Slika 14: Analitično določene napetosti v cirkularni smeri (σθ [MPa])

Slika 15: Analitično določene napetosti v aksialni smeri (σz [MPa])
Slika 16: Analitično določene napetosti v radialno-aksialni smeri (σrz [MPa])

5 Numerični model
Za numerično analizo uporabimo programski paket ANSYS. Pri numeričnem izračunu izberemo valj enakih dimenzij kot pri testnem analitičnem modelu (slika 4), podake pa dobimo iz tabele 1. Najprej izvedemo temperaturno analizo, nato pa z razultati temperaturne analize izvedemo še trdnostno analizo.
5.1 Temperaturna analiza
Valj pomrežimo z elementi SOLID90, ki so primerni za temperaturno analizo. Na površini pa definiramo elemente SURF152, ki so primerni za definicijo robnih pogojev (temperature in konvekcije). Mreža je vidna na sliki 17, definirani robni pogoji pa na sliki 18.

Slika 17: Pomrežen valj

Slika 18: Robni pogoji (oranžna barva predstavlja definirano temperaturo, rdeča pa definirano konvekcijo)
Izračunano stacionarno temperaturno polje prikažemo na celotnem valju in na vzdolžnem prerezu valja (sliki 19 in 20).

Slika 19: Numerično določeno temperaturno polje
Slika 20:Numerično določeno temperaturno polje v prerezu
5.2 Trdnostna analiza
Pri trdnostni analizi obdržimo enako mrežo kot pri temeraturni analizi (slika 17), zamenjamo le tič elementov v SOLID45. Valj na eni strani fiksiramo z vzmetmi z zanemarljivo togostjo. To moramo storiti, da omogočimo konvekcijo rešitve. Obremenitev predstavlja numerično izračunano temperaturno polje (slika 5).
Izračunani pomiki v radialni smeri (ur) so vidni na sliki 21, pomiki v aksialni smeri (uz) so vidni na sliki 22, deformacije v radialni smeri (εr) so vidne na sliki 23, deformacije v cirkularni smeri (εθ) sdo vidne na