{"id":125521,"date":"2018-02-20T23:50:30","date_gmt":"2018-02-20T23:50:30","guid":{"rendered":"https:\/\/writemyessayfree.com\/characterization-of-absorption-properties-of-elastomeric-reinforcing-material"},"modified":"2017-08-16T06:04:43","modified_gmt":"2017-08-16T06:04:43","slug":"characterization-of-absorption-properties-of-elastomeric-reinforcing-material","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/characterization-of-absorption-properties-of-elastomeric-reinforcing-material\/","title":{"rendered":"Characterization of absorption properties of elastomeric reinforcing material"},"content":{"rendered":"
\n

Seminar:
Dolo\u010ditev termoelasti\u010dnega napetostno-deformacijskega stanja noslica lokalno obremenjenega s temperaturno obremenitvijo<\/p>\n

Povzetek
Dolo\u010ditev temperaturnega polja in napetostno-deformacijskega stanja sredinsko segretega valja ne predstavlja zahtevnega fizikalnega problema, matemati\u010dno pa je izjemno kompleksen. Primerjava dobljenih rezultatov analiti\u010dnega in numeri\u010dnega prera\u010duna je navdu\u0161ujo\u010da. Odstopanja so. Pojavijo se zaradi poenostavitev pri analiti\u010dnem ra\u010dunanju temperaturnega polja in zaradi kon\u010dne izbire elementov dobljenih neskon\u010dnih vsot. Nekaj je seveda tudi numeri\u010dne napake pri re\u0161itvi z metodo kon\u010dnih elementov.<\/p>\n

Kazalo
1 Uvod 6
2 Teoreti\u010dne osnove 7
3 Temperaturno polje 10
3.1 Razdelitev re\u0161itve 11
3.2 Elipti\u010dna re\u0161itev 13
3.2.1 Dolo\u010ditev pD in \u03b2D 15
3.2.2 Dolo\u010ditev pL in \u03b2L 17
3.2.3 Dolo\u010ditev pS in \u03b2S 18
3.2.4 Dolo\u010ditev CL, CD, CS, DL, DD in DS 19
3.3 Hiperboli\u010dna re\u0161itev 22
3.3.1 Dolo\u010ditev pD, pL, \u03bcD in \u03bcL 23
3.3.2 Dolo\u010ditev pS in \u03bcS 25
3.3.3 Dolo\u010ditev AD, AL, BD in BL 26
3.3.4 Dolo\u010ditev AS in BS 28
3.4 Dolo\u010ditev temperaturnega polja na konkretnem primeru 31
4 Napetostno-deformacijsko stanje ([2], str. 163) 34
4.1 Razvoj temperaturnega polja v Fourierovo vrsto 35
4.2 Dolo\u010ditev koeficientov termoelasti\u010dnega potenciala 38
4.3 Izra\u010dun pomikov, deformacij in napetosti 41
4.4 Dolo\u010ditev napetostno-deformacijskega stanja na konkretnem primeru 42
5 Numeri\u010dni model 47
5.1 Temperaturna analiza 47
5.2 Trdnostna analiza 49
6 Zaklju\u010dek 53
7 Literatura 54
8 Priloga: Izra\u010dun napetostno-deformacijskega stanja v programskem paketu Mathematica 55
Slike
Slika 1: Valj \u2013 zelo poenostavljen model nosilca 6
Slika 2: Dimenzije valja 6
Slika 3: Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda 10
Slika 4: Dimenzije valja 31
Slika 5: Analiti\u010dna porazdelitev temperature po prerezu valja 32
Slika 6: Potek temperature po prerezu valja 32
Slika 7: Analiti\u010dno dolo\u010deni pomiki v radialni smeri (ur [mm]) 42
Slika 8: Analiti\u010dno dolo\u010deni pomiki v aksialni smeri (uz [mm]) 42
Slika 9: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v radialni smeri (\u03b5r [-]) 43
Slika 10: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v cirkularni smeri (\u03b5\u03b8 [-]) 43
Slika 11: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v aksialni smeri (\u03b5z [-]) 44
Slika 12: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v radialno-aksialni smeri (\u03b5rz [-]) 44
Slika 13: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v radialni smeri (\u03c3r [MPa]) 45
Slika 14: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v cirkularni smeri (\u03c3\u03b8 [MPa]) 45
Slika 15: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v aksialni smeri (\u03c3z [MPa]) 46
Slika 16: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v radialno-aksialni smeri (\u03c3rz [MPa]) 46
Slika 17: Pomre\u017een valj 47
Slika 18: Robni pogoji 47
Slika 19: Numeri\u010dno dolo\u010deno temperaturno polje 48
Slika 20:Numeri\u010dno dolo\u010deno temperaturno polje v prerezu 48
Slika 21: Numeri\u010dno dolo\u010deni pomiki v radialni smeri (ur [mm]) 49
Slika 22: Numeri\u010dno dolo\u010deni pomiki v aksialni smeri (uz [mm]) 49
Slika 23: Numeri\u010dno dolo\u010dene deformacije v radialni smeri (\u03b5r [-] ) 50
Slika 24: Numeri\u010dno dolo\u010dene deformacije v cirkularni smeri (\u03b5\u03b8 [-]) 50
Slika 25: Numeri\u010dno dolo\u010dene deformacije v aksialni smeri (\u03b5z [-]) 50
Slika 26: Numeri\u010dno dolo\u010dene deformacije v radialno-aksialni smeri (\u03b5rz [-]) 51
Slika 27: Numeri\u010dno dolo\u010dene napetosti v radialni smeri (\u03c3r [MPa]) 51
Slika 28: Numeri\u010dno dolo\u010dene napetosti v cirkularni smeri (\u03c3\u03b8 [MPa]) 51
Slika 29: Numeri\u010dno dolo\u010dene napetosti v aksialni smeri (\u03c3z [MPa]) 52
Slika 30: Numeri\u010dno dolo\u010dene napetosti v radialno-aksialni smeri (\u03c3rz [MPa]) 52<\/p>\n

Seznam uporabljenih simbolov<\/p>\n

Oznaka Pomen Enote<\/p>\n

napetostni tenzor<\/p>\n

deformacijski tenzor<\/p>\n

vektor pomikov<\/p>\n

temperatura<\/p>\n

pozicija<\/p>\n

\u010das<\/p>\n

elasti\u010dni modul<\/p>\n

Poissonovo \u0161tevilo<\/p>\n

prva Lamejeva konstanta<\/p>\n

druga Lamejeva konstanta<\/p>\n

koeficient temperaturne razteznosti<\/p>\n

koeficient toplotne prevodnosti<\/p>\n

koeficient toplotne prehodnosti<\/p>\n

koeficient toplotne prestopnosti<\/p>\n

recipro\u010den normiran koeficient toplotne prehodnosti<\/p>\n

vektor obremenitev<\/p>\n

harmoni\u010dni vektor<\/p>\n

harmoni\u010dni skalar<\/p>\n

pozicijski vektor<\/p>\n

termoelasti\u010dni pomi\u010dni potencial<\/p>\n

temperatura v levem polju<\/p>\n

temperatura v desnem polju<\/p>\n

temperatura v srednjem polju<\/p>\n

temperatura okolice<\/p>\n

radialna koordianta<\/p>\n

aksialna koordinata<\/p>\n

brezdimenzijska radialna koordinata<\/p>\n

brezdimenzijska aksialna koordinata<\/p>\n

1 Uvod
Za valj na sliki 1, ki predstavlja zelo poenostavljen model nosilca obremenjenega z lokalno temperaturno obremenitvijo, ki je prosto prosto podprt, je potrebno analiti\u010dno dolo\u010diti temperaturno polje in pripadajo\u010de napetostno-deformacijsko stanje. Analiti\u010dno dobljeni rezultat je nato potrebno primerjati z numeri\u010dnim, dobljenim s programskim paketom ANSYS.<\/p>\n

Slika 1: Valj \u2013 zelo poenostavljen model nosilca<\/p>\n

Poenostavljen model torej predstavlja valj dol\u017eine 2l, notranjega premera d1, zunanjega premera d2 in za\u010detne temperature T0, ki ga na obodu dol\u017eine 2c grejemo s temperaturo T1 (slika 2).<\/p>\n

Slika 2: Dimenzije valja<\/p>\n

Za stacionaren primer bom torej ira\u010dunal temperaturno polje T(r,z) nato pa \u0161e pripadajo\u010d napetostni tenzor \u03c3ij, deformacijski tenzor \u03b5ij in vektor premikov ui.<\/p>\n

2 Teoreti\u010dne osnove
V splo\u0161nem obravnavamo pri termoelasti\u010dnem problemu \u0161estnajst neznanih funkcij pozicije xk in \u010dasa t, to je \u0161est napetostnih komponent \u03c3ij, \u0161est deformacijskih komponent \u03b5ij, tri komponente vektorja premikov ui in temperaturo T. \u0160tiri skupine ena\u010db, ki nam te veli\u010dine popisujejo, so:
\u2022 tri gibalne ena\u010dbe
, (2-0-1)
\u2022 ena\u010dba prenosa toplote
, (2-0-2)
\u2022 \u0161est napetostno-deformacijskih zvez
, (2-0-3)
\u2022 \u0161est zvez med deformacijami in pomiki
. (2-0 4)<\/p>\n

\u010ce notranja generacija toplote ni prisotna oz. zunanja generacija toplote povzro\u010da neenakomerno segrevanje, lahko predpostavimo, da je temperaturno polje neodvisno od deformacij zaradi temperature. V tem primeru odpade \u010dlen v ena\u010dbi (2-0-2). Pod obi\u010dajnimi pogoji prenosa toplote je hitrost spreminjanja temperature v primerjavi s hitrostjo zvoka v materialu majhna, zato ne upo\u0161tevamo vztrajnostnih sil zaradi gibanja delcev med spreminjanjem temperature. Odpade nam \u010dlen v ena\u010dbi (2-0-1). \u010ce upo\u0161tevamo omenjeni predpostavki, pravimo, da je termoelasti\u010dni problem kvaistati\u010den. \u010ce upo\u0161tevamo \u0161e, da je temperaturno polje \u010dasovno neodvisno, odpade tudi \u010dlen v ena\u010dbi (2-0-2). Tak\u0161en termoelasti\u010den problem je stacionaren.
Prvi del re\u0161itve stacionarnega termoelasti\u010dnega problema je dolo\u010ditev temperaturnega polja T. dolo\u010deno je s ti. Laplaceovo diferencialno ena\u010dbo (sledi iz ena\u010dbe (2-0-2)),
, (2-0-5)
in robnimi pogoji prenosa toplote med povr\u0161ino telesa in okolico. V teoriji prenosa toplote privzamemo slede\u010de idealizirane robne pogoje:
\u2022 Predpisana povr\u0161inska temperatura
, (2-0-6)
kjer je xk to\u010dka na povr\u0161ini telesa, f(xk) pa je dana funkcija
\u2022 Predpisan toplotni pretok iz telesa v okolico
, (2-0-7)
kjer je n normala iz povr\u0161ine telesa v to\u010dki xk in
\u2022 Predpisana temperatura okolice in zakon konvektivne izmenjave toplote med povr\u0161ino in okoli\u0161kim medijem
, (2-0-8)
kjer je \u03b1 povr\u0161inski prestopnostni koeficient.
V telesu je edini mo\u017eni prenos toplote s konduktivnostjo (prevodom), na povr\u0161ini telesa pa se lahko toplota prena\u0161a s konduktivnostjo, konvekcijo (prestopom) ali z radiacijo (sevanjem).
Drugi del re\u0161itve stacionarnega termoelasti\u010dnega problema je dolo\u010ditev pripadajo\u010dega polja termi\u010dnih napetosti. Problem je sestavljen iz dolo\u010ditve preostalih petnajstih veli\u010din \u03c3ij , \u03b5ij in ui, ki jih dolo\u010dimo po preostalih ena\u010dbah (2-0-1), (2-0-3) in (2-0-4). Ko re\u0161ujemo termoelasti\u010dne probleme, moramo najprej izbrati pomike ui ali napetosti \u03c3ij kot odisne spremenljivke. Glede na izbiro re\u0161ujemo termoelasti\u010dni problem z neodvisnimi spremenljivkami. Splo\u0161na re\u0161itev s pomiki kot neodvisnimi spremenljivkami je dana s Papkovi\u010devo ena\u010dbo (2-0-14), za katero se izka\u017ee, da je najbolj ugodna, ker je matemati\u010dno relativno enostavna.
Termoelasti\u010dni problem, ki sledi iz ena\u010db (2-0-1), (2-0-2), (2-0-3) in (2-0-4), z osnovno ena\u010dbo in pomiki kot neodvisnimi spremenljivkami zapi\u0161emo kot
. (2-0-9)
Funkcija T je poznana iz re\u0161itve pripadajo\u010dega problema prenosa toplote.
Robne pogoje pomikov upo\u0161tevamo kot
. (2-0-10)
\u010ce zapi\u0161emo \u0161e ena\u010dbo (2-0-3) s pomiki in upo\u0161tevamo zvezo
, (2-0-11)
dobimo napetostne robne pogoje
. (2-0-12)
Splo\u0161na re\u0161itev ena\u010dbe (2-0-9) ima obliko
, (2-0-13)
kjer je splo\u0161na re\u0161itev homogenega dela ena\u010dbe (2-0-9) in dejansko predstavlja re\u0161itev v odvisnosti od robnih pogojev pomikov problema, je temperaturna partikularna re\u0161itev ena\u010dbe (2-0-9), ki predstavlja F=0 in predstavlja spremembo pomikov zaradi temperaturne spremembe, pa je mehanska partikularna re\u0161itev ena\u010dbe (2-0-9), ki predstavlja T=0 in predstavlja spremembo pomikov zaradi mehanske obremenitve.
Splo\u0161no re\u0161itev homogenega dela, , je predstavil Papkovi\u010d in je oblike
, (2-0-14)
kjer je B harmoni\u010dni vektor, ki ustreza ena\u010dbi
, (2-0-15)
B0 je harmoni\u010dni skalar, ki ustreza ena\u010dbi
, (2-0-16)
in r pozicijski vektor.
Partikularno temperaturno re\u0161itev, , pa dobimo s Papkovi\u010d-Goddierovo ena\u010dbo oblike
, (2-0-17)
kjer je \u03a6 skalarna funkcija, ki ustreza Poissonovi ena\u010dbi
, (2-0-18)
in jo imenujemo termoelasti\u010dni pomi\u010dni potencial.
S poznavanjem teemoelasti\u010dnega pomi\u010dnega potenciala \u03a6 hkrati \u017ee dolo\u010dimo partikularno temperaturno re\u0161itev . Ko poznamo te pomike, lahko dolo\u010dimo napetosti zaradi temperaturne spremembe, preko napetostno-deformacijskih zvez (2-0-3) pa dolo\u010dimo \u0161e pripadajo\u010de deformacije.
3 Temperaturno polje
Za v uvodu opisani problem najprej dolo\u010dimo temperaturno polje. Valj razdelimo na tri dele (slika 3). Na srednjem delu na zunanjem obodu poznamo temperaturo, povsod drugod pa prenos poteka s konvekcijo na okolico. Predpostavimo, da ima okolica ves \u010das temperaturo T0, koeficient toplotne prestopnosti \u03b1 ni odvisen od temperature in je ves \u010das konstanten, konstaneten pa je tudi koeficient toplotne prevodnosti \u03bb T.<\/p>\n

Slika 3: Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda
Na obodu valja imamo torej konvektivne robne pogoje, med razdeljenimi deli pa upo\u0161tevamo konduktivne pogoje konsistentnega prehoda. Temperaturno polje je osno simetri\u010dno, simetri\u010dno pa je tudi glede na ravnino z = 0.
Temperaturno polje razdelimo po delih. V levem delu imamo TL, v desnem TD, v srednjem pa TS. Vpeljemo tudi brezdimenzijske koordinate
, , , , (3-0-1)
in zapis recipro\u010dnega normalnega koeficienta toplotne prehodnosti
. (3-0-2)
Dolo\u010ditev stacionarnega temperaturnega polja v vsakem delu valja nam opisuje Laplacova diferencialna ena\u010dba (2-0-5), ki se v cilindri\u010dnih koordinatah glasi
, . (3-0-3)
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-4)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem desnem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem desnem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja konvekcijo na skrajno desnem robu valja (z = l), \u010detrti pa predstavlja enako temperaturo na desnem in srednjem delu valja (z = c).
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-5)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem levem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem levem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja konvekcijo na skrajno levem robu valja (z = -l) )(odtod -, ker je normala glede na z obrnjena negativno), \u010detrti pa predstavlja enako temperaturo na levem in srednjem delu valja (z = -c).
Robni pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja so:
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3-0-6)
Prvi robni pogoj predstavlja konvekcijo na notranjem sredjem obodu valja (r = r1)(odtod -, ker je normala glede na r obrnjena negativno), drugi predstavlja konvekcijo na zunanjem srednjem obodu valja (r = r2), tretji predstavlja enako kondukcijo med levim in srednjim delom valja (z = -c), \u010detrti pa predstavlja enako kondukcijo med srednjim in desnim delom valja (z = c).<\/p>\n

3.1 Razdelitev re\u0161itve
Re\u0161itev ena\u010dbe (3-3) je sesteavljena iz elipti\u010dnega in hiperboli\u010dnega dela, zato bom njeno re\u0161itev zapisal v obliki
, , (3-1-1)
kjer bo Ti1, i = L, D, S, elipti\u010dna re\u0161itev ena\u010dbe
, , (3 1-2)<\/p>\n

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko
, ko , (3 1-3)<\/p>\n

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-4)<\/p>\n

in z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-5)
Ti2, i = L, D, S, bo hiperboli\u010dna re\u0161itev ena\u010dbe
, , (3 1-6)
z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v desnem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-7)<\/p>\n

z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v levem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko , (3 1-8)<\/p>\n

in z robnimi pogoji in pogoji konsistentnega prehoda v srednjem delu valja
, ko ,
, ko ,
, ko ,
, ko . (3 1-9)<\/p>\n

Pri obeh re\u0161itvah predpostavimo T1 = 0 zaradi la\u017ejega re\u0161evanja, na koncu pa k dobljenemu rezultatu pri\u0161tejemo T1. S to predpostavko ne vplivamo na splo\u0161ni del re\u0161itve.<\/p>\n

3.2 Elipti\u010dna re\u0161itev
Re\u0161itev ena\u010dbe 3-1-2 poi\u0161\u010demo z multiplikativnim osnutkom ([1], str. 402). Zapi\u0161emo
(3 2-1)
in to vstavimo v ena\u010dbo 3-1-2. Dobimo
. (3-2-2)
Vpeljemo parameter \u03b2,
(3-2-3)
in dobimo dve lo\u010deni diferencialni ena\u010dbi,
(3-2-4)
in
. (3-2-5)<\/p>\n

Re\u0161itev ena\u010dbe 3-2-4 je
, (3-2-6)
kjer je J0(x) Besslova funkcija ni\u010dtega reda in prve vrste, Y0(x) pa Besslova funkcija ni\u010dtega reda in druge vrste. Re\u0161itev ena\u010dbe 3-2-5 je
. (3-2-7)<\/p>\n

Ponovne upo\u0161tevamo multiplikativni osnutek 3-2-1 in dobimo
. (3-2-8)
Vpeljemo nove konstante,
, , . (3-2-9)
Dobljena elipti\u010dna re\u0161itev mora veljati v vsakem delu valja. Dobimo torej tri re\u0161itve
,
,
. (3-2-10)<\/p>\n

Iz robnih pogojev je potrebno izra\u010dunati \u0161e neznane konstante CL, CD, CS, DL, DS, \u03b2L, \u03b2D, \u03b2S, pL, pD, pS.
Najprej se lotimo dolo\u010ditve konstant \u03b2L, \u03b2D, \u03b2S, pL, pD in pS. \u010ce temperaturno polje, popisano z ena\u010dbo
, , (3-2-11)
odvajamo parcilano po \u03c1, dobimo<\/p>\n

, , (3-2-12)
kjer je J1(x) Besslova funkcija prvega reda in prve vrste, Y1(x) pa Besslova funkcija prvega reda in druge vrste. Veljata enakosti
, (3-2-13)
\u010ce temperaturno polje odvajamo parcialno po \u03c2, dobimo<\/p>\n

, , (3-2-14)
kjer veljata enakosti
, (3-2-15)<\/p>\n

3.2.1 Dolo\u010ditev pD in \u03b2D
V desnem delu upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-3: D1 in dobimo:
, ko ,<\/p>\n

. (3-2-16)<\/p>\n

Delimo z in izrazimo pD.<\/p>\n

. (3-2-17)<\/p>\n

Upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-3: D2 in dobimo:
, ko ,<\/p>\n

. (3-2-18)<\/p>\n

Delimo z in ponovno izrazimo pD.<\/p>\n

. (3-2-19)<\/p>\n

Izena\u010dimo ena\u010dbi 3-2-17 in 3-2-19 in dolo\u010dimo \u03b2D.
. (3-2-20)<\/p>\n

Po dolgotrajnem ra\u010dunanju in vpeljavi
,
,
(3-2-21)<\/p>\n

dobimo transcendentno ena\u010dbo, katere re\u0161itev za \u03c1 = 1 predstavljajo vrednosti \u03b2Dn, n = 1, 2\u2026
(3-2-22)<\/p>\n

Re\u0161itev TD1 zapi\u0161emo v obliki neskon\u010dne vsote. \u010clen [J0(\u03b2D\u03c1)+pDY0(\u03b2D\u03c1)] nadomestimo s \u010dlenom u0(\u03b2Dn\u03c1), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-23)<\/p>\n

3.2.2 Dolo\u010ditev pL in \u03b2L
V levem delu upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-4: L1 in dobimo:
, ko ,<\/p>\n

. (3-2-24)<\/p>\n

Delimo z in izrazimo pL.<\/p>\n

. (3-2-25)<\/p>\n

Upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-4: L2 in dobimo:
, ko ,<\/p>\n

. (3-2-26)<\/p>\n

Ponovno delimo z in izrazimo pL.<\/p>\n

. (3-2-27)<\/p>\n

Izena\u010dimo ena\u010dbi 3-2-25 in 3-2-27 in dolo\u010dimo \u03b2L.
. (3-2-28)<\/p>\n

Po dolgotrajnem ra\u010dunanju in vpeljavi<\/p>\n

(3-2-29)<\/p>\n

dobimo transcendentno ena\u010dbo, katere re\u0161itev za \u03c1 = 1 predstavljajo vrednosti \u03b2Ln, n = 1, 2\u2026
(3-2-30)<\/p>\n

Re\u0161itev TL1 zapi\u0161emo v obliki neskon\u010dne vsote. \u010clen [J0(\u03b2L\u03c1)+pLY0(\u03b2L\u03c1)] nadomestimo s \u010dlenom u0(\u03b2Ln\u03c1), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-31)<\/p>\n

3.2.3 Dolo\u010ditev pS in \u03b2S
V srednjem delu upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-5: S1 in dobimo:
, ko ,<\/p>\n

(3-2-32)<\/p>\n

Delimo z in izrazimo pS.<\/p>\n

. (3-2-33)<\/p>\n

Upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-5: S2 in dobimo:
, ko ,<\/p>\n

Ponovno delimo z in izrazimo pS.<\/p>\n

(3-2-34)
Izena\u010dimo ena\u010dbi 3-2-33 in 3-2-34 in dolo\u010dimo \u03b2S.
(3-2-35)<\/p>\n

Po ra\u010dunanju in vpeljavi<\/p>\n

(3-2-36)<\/p>\n

dobimo transcendentno ena\u010dbo, katere re\u0161itev za \u03c1 = 1 predstavljajo vrednosti \u03b2Sn, n = 1, 2\u2026
. (3-2-37)<\/p>\n

Re\u0161itev TS1 zapi\u0161emo v obliki neskon\u010dne vsote. \u010clen [J0(\u03b2S\u03c1)+pSY0(\u03b2S\u03c1)] nadomestimo s \u010dlenom u0(\u03b2Sn\u03c1), ker predstavljato povsem isto.
(3-2-38)
3.2.4 Dolo\u010ditev CL, CD, CS, DL, DD in DS
Za dolo\u010ditev preostalih konstant upo\u0161tevamo najprej pogoja konsistentnega prehoda 3-1-3: D4 in 3-1-4: L4.
, ko in , ko (3-2-39)
Ker gre za simetri\u010dno temperaturno polje okrog ravnine z = 0, lahko zapi\u0161emo<\/p>\n

(3-2-40)
in<\/p>\n

(3-2-41)<\/p>\n

Tu smo si privo\u0161\u010dili poenostavitev in predpostavili, da u0(\u03b2Dn\u03c1) in u0(\u03b2Sn\u03c1) predstavljata pribli\u0107no enako vrednost (kar seveda ni nujno res) in smo ju pokraj\u0161ali.
Iz konduktivnega pogoja konsistentnega prehoda 3-1-5: S4 dobimo
, ko (3-2-42)<\/p>\n

Tu smo si privo\u0161\u010dili poenostavitev in predpostavili, da u0(\u03b2Dn\u03c1) in u0(\u03b2Sn\u03c1) predstavljata pribli\u0107no enako vrednost (kar seveda ni nujno res) in smo ju pokraj\u0161ali.
Uporabimo \u0161e konvektivni robni pogoj 3-1-3: D3 in dobimo
, ko<\/p>\n

(3-2-43)<\/p>\n

V ena\u010dbi 3-2-42 smo tudi temperaturo okolice T0 zapisali kot neskon\u010dno vrsto ([2], str. 75).
(3-2-44)
kjer<\/p>\n

(3-2-45)
in<\/p>\n

(3-2-46)<\/p>\n

Dobili smo \u0161tiri ena\u010dbe (3-2-40, 3-2-41, 3-2-42 in 3-2-43), iz katerih lahko dolo\u010dimo konstante CDn, DDn, CSn in DSn za vsak n = 1,2\u2026 posebej. Ker gre za simetri\u010dno temperaturno polje okrog ravnine z = 0, sklepamo, da so konstante na levem delu valja, CLn, DLn, enake konstantam na desnem delu valja, CDn in DDn. Pri izra\u010dunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Sledi:
(3-2-47)
(3-2-48)
(3-2-49)
(3-2-50)
Elipti\u010dni del re\u0161itve temperaturnega polje je torej:
(3-2-51)
Kako so posamezne konstante izra\u010dunane, je vidno v celotnem poglavju 3.2.<\/p>\n

3.3 Hiperboli\u010dna re\u0161itev
Re\u0161itev ena\u010dbe 3-1-6 poi\u0161\u010demo z multiplikativnim osnutkom ([1], str 402). Zapi\u0161emo
(3-3-1)
in to vstavimo v ena\u010dbo 3-1-6. Dobimo
(3-3-2)
Vpeljemo parameter \u03bc,
(3-3-3)
in dobimo dve lo\u010deni diferencialni ena\u010dbi,
(3-3-4)
in
(3-3-5)
Re\u0161itev ena\u010dbe 3-3-4 je
(3-3-6)
kjer je I0(x) modificirana Besslova funkcija ni\u010dtega reda in prve vrste, K0(x) pa modificirana Besslova funkcija ni\u010dtega reda in druge vrste. Re\u0161itev ena\u010dbe 3-3-5 je
. (3-3-7)
Ponovno upo\u0161tevamo multiplikativni osnutek 3-1-1 in dobimo
. (3-3-8)
Vpeljemo nove konstante,
, , . (3-3-9)
Dobljea hiperboli\u010dna re\u0161itev mora veljati v vsakem delu valja. Dobimo torej tri re\u0161itve
,
,
. (3-3-10)<\/p>\n

Iz robnih pogojev je potrebno izra\u010dunati \u0161e neznane konstante AL, AD, AS, BL, BD, BS, \u03bcL, \u03bcD, \u03bcS, pD in pS.
Najprej se lotimo dolo\u010ditve konstant \u03bcL, \u03bcD, \u03bcS, pD in pS. \u010ce temperaturno polje, popisano z ena\u010dbo
, (3-3-11)
Odvajamo parcialno po \u03c1, dobimo<\/p>\n

, (3-3-12)
Kjer je I1(x) modificirana Besslova funkcija prvega reda in prve vrste, K1(x) pa modificirana Besslova funkcija prvega reda in druge vrste. Veljata enakosti
, . (3-3-13)
\u010ce temperaturno polje odvajamo parcialno po \u03c2, dobimo<\/p>\n

, , (3-3-14)
kjer veljata enakosti
, . (3-3-15)
3.3.1 Dolo\u010ditev pD, pL, \u03bcD in \u03bcL
V desnem delu upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-7: D3 in dobimo:
, ko<\/p>\n

. (3-3-16)<\/p>\n

Delimo z in izrazimo pD.<\/p>\n

(3-3-17)
V dlevem delu upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-8: L3 in dobimo:
, ko<\/p>\n

. (3-3-18)<\/p>\n

Delimo z in izrazimo pL in upo\u0161tevamo cos(-x) = cos(x) ter sin(-x) = -sin(x).<\/p>\n

(3-3-19)<\/p>\n

Iz pogojev konsistentnega prehoda 3-1-7: D4 in 3-1-8: L4 sledi
(3-3-20)<\/p>\n

zato lahko ena\u010dbi 3-3-17 in 3-3-19 izena\u010dimo in dobimo<\/p>\n

(3-3-21)<\/p>\n

Na obeh straneh ena\u010dbe 3-3-21 izpostavimo \u03bcD in vpeljemo izraza
(3-3-22)
. (3-3-23)<\/p>\n

Dobimo transcendentno ena\u010dbo, katere ra\u0161itev za \u03c2 = \u03c21 predstaljajo vrednosti \u03bcDj, j = 1, 2\u2026<\/p>\n

(3-3-24)<\/p>\n

Re\u0161itev TD2 zapi\u0161emo v obliki neskon\u010dne vsote. \u010clen [cos(\u03bcD \u03c2)+pDsin(\u03bcD \u03c2)] nadomestimo s \u010dlenom Z0(\u03bcD \u03c2), ker predstavljato povsem isto.
. (3-3-25)<\/p>\n

Ker imamo simetri\u010dno temperatuno polje okoli ravnine z = 0, lahko upo\u0161tevamo ena\u010dbo 3-3-20 in zapi\u0161emo tudi re\u0161itev za TL2 v obliki neskon\u010dne vsote. \u010clen [cos(\u03bcL \u03c2)+pLsin(\u03bcL \u03c2)] nadomestimo s \u010dlenom Z0(\u03bcL \u03c2), ker predstavljato povsem isto.
. (3-3-26)<\/p>\n

3.3.2 Dolo\u010ditev pS in \u03bcS
V srednjem delu upo\u0161tevamo robni pogoj 3-1-9: S3 in 3-1-9: S4. Upo\u0161tevamo \u0161e cos(-x) = cos(x) ter sin(-x) = -sin(x). Dobimo:<\/p>\n

. (3-3-27)<\/p>\n

Sledi
(3-2-28)
; (3-2-29)<\/p>\n

Tudi v srednjem polju vpeljemo izraz
, (3-3-30)<\/p>\n

re\u0161itev TS2 zapi\u0161emo v obliki neskon\u010dne vsote. \u010clen [cos(\u03bcS \u03c2)+pSsin(\u03bcS \u03c2)] nadomestimo s \u010dlenom Z0(\u03bcS \u03c2), ker predstavljato povsem isto.
(3-3-31)<\/p>\n

3.3.3 Dolo\u010ditev AD, AL, BD in BL
Za dolo\u010ditev konstant AD in BD upo\u0161tevamo robna pogoja 3-1-7: D1 in 3-1-7: D2. Sledi:
, ko ,<\/p>\n

(3-3-32)<\/p>\n

, ko<\/p>\n

(3-3-33)<\/p>\n

V ena\u010dbah 3-3-32 in 3-3-33 smo tudi temperaturo okolice T0 zapisali kot neskon\u010dno vsoto ([2], str. 78).
, (3-3-34)
kjer<\/p>\n

(3-3-35)
in<\/p>\n

. (3-3-36)<\/p>\n

Pri izra\u010dunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Kostante ADj in BDj dolo\u010dimo za vsak j = 1, 2\u2026 posebej. Ker gre za simetri\u010dno temperaturno polje okrog ravnine z = 0, sklepamo, da so konstante na levem delu valja, ALj, BLj, enake konstantam na desnem delu valja ADj in BDj. Sledi:
(3-3-37)
, (3-3-38)
kjer<\/p>\n

3.3.4 Dolo\u010ditev AS in BS
Za dolo\u010ditev konstant AS in BS upo\u0161tevamo robna pogoja 3-1-9: S1 in 3-1-9: S2. Sledi:
, ko ,<\/p>\n

(3-3-39)<\/p>\n

, ko ,
(3-3-40)<\/p>\n

V ena\u010dbah 3-3-39 in 3-3-40 smo spet temperaturo okolice T0 zapisali kot neskon\u010dno vsoto ([2], str 78).
, (3-3-41)
kjer<\/p>\n

(3-3-42)
in<\/p>\n

. (3-3-43)<\/p>\n

Pri izra\u010dunu konstant si pomagamo s programskim paketom Mathematica. Konstante ASj in BSj dolo\u010dimo za vsak j = 1, 2\u2026 posebej. Sledi:
(3-3-44)
, (3-3-45)
kjer
.<\/p>\n

Hiperboli\u010dni del re\u0161itve temperaturnega polja je torej:
(3-3-46)
Kako so posamezne konstante izra\u010dunane, je vidno v celotnem poglavju 3.3.
Pri kon\u010dni re\u0161itvi seveda ne smemo pozabiti pri\u0161teti temperature T1, s katero valj segrevamo. Med dedukcijo temperaturnega polja smo jo izpustili zaradi la\u017ejega re\u0161evanja.
3.4 Dolo\u010ditev temperaturnega polja na konkretnem primeru
Za primer vzemimo jekleni valj dimenzij, vidnih na sliki 4 in v tabeli 2. Izbrane veli\u010dine imajo tak\u0161ne vrednosti, da si jih zlahka predstavljamo. Karakteristi\u010dne vrednosti jekla so dobljene iz [3].<\/p>\n

Slika 4: Dimenzije valja
Tabela 1: Podatki
Veli\u010dina Vrednost [ ]
l 50 mm
c 10 mm
d1 10 mm
d2 20 mm
T0 20 \u00b0C
T1 100 \u00b0C
\u03b1 5 W\/m2K
\u03bbT 20 W\/m2K
\u03b1T 1,2 x 10-5 K-1
E 210000 Mpa
\u03bd 0,3<\/p>\n

Koeficient toplotne prestopnosti \u03b1 je zna\u010dilen za mirujo\u010di zrak pri 20\u00b0C, izbrane vrednosti \u03bbT, \u03b1T, E in \u03bd pa so tipi\u010dne za jeklo. Zaradi mno\u017eice re\u0161itev je dobljeno stacionarno temperaturno polje najbolje predstaviti grafi\u010dno (slika5 in 6) in tabelari\u010dno (tabela 3). Re\u0161itve so dobljene po postopku, opisanem v poglavju 3. Izka\u017ee se, da bistveno na porazdelitev temperature vplivajo le prvi \u010dlen dobljenih neskon\u010dnih vsot. Drugi \u010dlen in vsi naslednji na re\u0161itev prakti\u010dno nimajo vpliva. Temperaturno polje torej lahko zapi\u0161emo kot<\/p>\n

Konstante dolo\u010dimo po postopku opisanem v poglavju 3.<\/p>\n

Slika 5: Analiti\u010dna porazdelitev temperature po prerezu valja
Slika 6: Potek temperature po prerezu valja<\/p>\n

Tabela 2: Vrednosti temperature [\u00b0C] segretega valja v stacionarnem stanju
z[mm] \/ r[mm] 5,0 6,3 7,6 8,8 10,0
0 92,418 92,424 92,420 92,409 92,390
15 94,013 94,016 94,014 94,006 93,994
28 96,416 96,417 96,416 96,412 6,406
37 98,456 98,457 98,457 98,455 98,453
40 99,210 99,346 99,541 99,769 100,000
41 99,448 99,543 99,679 99,838 100,000
42 99,614 99,680 99,776 99,887 100,000
43 99,729 99,776 99,843 99,921 100,000
44 99,810 99,842 99,889 99,944 100,000
45 99,865 99,888 99,922 99,960 100,000
46 99,903 99,920 99,944 99,972 100,000
47 99,929 99,941 99,958 99,979 100,000
48 99,945 99,954 99,968 99,984 100,000
49 99,954 99,962 99,973 99,986 100,000
50 99,956 99,964 99,975 99,987 100,000
51 99,954 99,962 99,973 99,986 100,000
52 99,945 99,954 99,968 99,984 100,000
53 99,929 99,941 99,958 99,979 100,000
54 99,903 99,920 99,944 99,972 100,000
55 99,865 99,888 99,922 99,960 100,000
56 99,810 99,842 99,889 99,944 100,000
57 99,729 99,776 99,843 99,921 100,000
58 99,614 99,680 99,776 99,887 100,000
59 99,448 99,543 99,679 99,838 100,000
60 99,210 99,346 99,541 99,769 100,000
63 98,456 98,457 98,457 98,455 98,453
72 96,416 96,417 96,416 96,412 6,406
85 94,013 94,016 94,014 94,006 93,994
100 92,418 92,424 92,420 92,409 92,390
4 Napetostno-deformacijsko stanje ([2], str. 163)
Dolo\u010dili bomo temperaturno napetosno-deformacijsko stanje brez upo\u0161tevanja vpetja in mehanskih obremenitev valja. Torej bomo upo\u0161tevali le partikularno temperaturno re\u0161itev u(T) v ena\u010dbi 2-0-13. V celotnem prera\u010dunu bo veljalo<\/p>\n

Ker je temperaturno polje osnosimetri\u010dno, so v cilindri\u010dnih koordinatah komponenta vektroja pomikov u\u03b8, komponenti deformacijskega tenzorja \u03b5r\u03b8, \u03b5\u03b8z in komponenti napetostnega tenzorja \u03c3r\u03b8, \u03c3\u03b8z enake 0.
Komponenti vektorja pomikov ur in uz sta enaki (poglavje 2)
(4-0-1)
in
, (4-0-2)
kjer je \u03a6 skalarna funkcija, ki ustreza Poissonovi ena\u010dbi (ena\u010dba 2-0-18) v cilindri\u010dnih koordinatah,
(4-0-3)
in jo imenujemo termoelasti\u010dni pomi\u010dni potencial. T0 je temperatura okolice, T pa temperatura telesa, dobljena po postopku, opisanem v poglavju 3.
S poznavanjem termoelasti\u010dnega pomi\u010dnega potenciala \u03a6 hkrati \u017ee dolo\u010dimo partikularno temperaturno re\u0161itev u(T), v na\u0161em primeru tudi u. Ko poznamo te pomike, lahko preko ena\u010db 2-0-3 in 2-0-4 dolo\u010dimo \u0161e pripadajo\u010de deformacije in napetosti,
,
, (4-0-4)
in
,
, (4-0-5)<\/p>\n

4.1 Razvoj temperaturnega polja v Fourierovo vrsto
Ker smo pri dolo\u010ditvi temperaturnega polja valja radelili na tri dele, enako storimo pri dolo\u010ditvi napetostno-deformacijskega stanja (slika 3). Ponovno vpeljemo brezdimenzijske koordinate (stran 8). Opazujemo le desno polovico valja, ker je napetostno-deformacijsko stanje okrog ravnine z = 0 simetri\u010dno in vemo, da v levi polovici valja dobimo enake napetosti in deformacije. Imamo torej desni del valja, v katerem je 0 < \u03c2 < \u03c21 in srednji del valje, v katerem je 0 < \u03c2 < \u03c20. Najprej dobljeno temperaturno polje razvejimo v Fourierovo vrsto,
, , (4-1-1)
kjer je T0 temperatura okolice, Fourierovee koeficiente pa za vsak del valja izra\u010dunamo kot
(4-1-2)
(4-1-3)
(4-1-4)
(4-1-5)
, (4-1-6)
, (4-1-7)<\/p>\n

V desnem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (ena\u010dba 3-4-1) enaki<\/p>\n

(4-1-8)<\/p>\n

V srednjem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (ena\u010dba 3-4-1) enaki<\/p>\n

(4-1-9)<\/p>\n

V srednjem delu valja so Fourierovi koeficienti za dobljeno temperaturno polje (ena\u010dba 3-4-1) enaki<\/p>\n

(4-1-10)<\/p>\n

(4-1-11)
4.2 Dolo\u010ditev koeficientov termoelasti\u010dnega potenciala
Ko poznamo transformirano temperaturno polje, izberemo termoelasti\u010dni potencial, ki bo zadostil ena\u010dbi 4-0-3, v obliki
, . (4-2-1)<\/p>\n

Koeficiente bni(\u03c1), i = D, S, dolo\u010dimo tako, da ena\u010dbi 4-1-1 in 4-2-1 vstavimo v ena\u010dbo 4-0-3. Sledi
, . (4-2-2)<\/p>\n

Ko n = 0 (kni = 0), dobimo
, , (4-2-3)<\/p>\n

\u010de pa n > 1, je homogena oblika ena\u010dbe 4-2-2 Besslova ena\u010dba ni\u010dtega reda. Nehomogena oblika ena\u010dbe se lahko re\u0161i z metodo variacije parametrov. To nam da iskano partikularno re\u0161itev<\/p>\n

; (4-2-4)<\/p>\n

Pri re\u0161itvi smo uporabili znano zvezo iz teorije Besslovih funkcij,
. (4-2-5)<\/p>\n

Koeficienti b0(\u03c1), bnD(\u03c1), b0S(\u03c1) in bnS(\u03c1) so torej<\/p>\n

(4-2-6)<\/p>\n

(4-2-7)<\/p>\n

(4-2-8)<\/p>\n

(4-2-9)<\/p>\n

4.3 Izra\u010dun pomikov, deformacij in napetosti
Izra\u010dunane koebficiente vstavimo v ena\u010dbo 4-2-1 za izra\u010dun termoelasti\u010dnega potenciala, tega pa vstavimo v ena\u010dbe 4-0-1, 4-0-2, 4-0-4 in 4-0-5 ter izra\u010dunamo pomike, deformacije in napetosti v valju.
(4-3-1)
(4-3-2)
.<\/p>\n

(4-3-3)
(4-3-4)
(4-3-5)
(4-3-6)
.<\/p>\n

(4-3-7)
(4-3-8)
(4-3-9)
(4-3-10)
.<\/p>\n

4.4 Dolo\u010ditev napetostno-deformacijskega stanja na konkretnem primeru
Za primer ponovno vzamemo jekleni valj dimenzij, vidnih na sliki 4 in v tabeli 2, za katerega smo \u017ee izra\u010dunali temperaturno polje. Zaradi mno\u017eice re\u0161itev je dobljeno napetosno-deformacijsko stanje nabolje predstaviti le grafi\u010dno (slike 7 do 16). Re\u0161itve so dobljene po postopku, opisanem v poglavju 4. Pri neskon\u010dnih vsotah vzamemo prvih 100 \u010dlenov. Izka\u017ee se, da to zadostuje za dober popis napetostno-deformacijskega stanja. Izra\u010dun je narejen v programu Mathematica, viden pa je v prilogi A.
Slika 7: Analiti\u010dno dolo\u010deni pomiki v radialni smeri (ur [mm])
Slika 8: Analiti\u010dno dolo\u010deni pomiki v aksialni smeri (uz [mm])<\/p>\n

Slika 9: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v radialni smeri (\u03b5r [-])<\/p>\n

Slika 10: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v cirkularni smeri (\u03b5\u03b8 [-])<\/p>\n

Slika 11: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v aksialni smeri (\u03b5z [-])
Slika 12: Analiti\u010dno dolo\u010dene deformacije v radialno-aksialni smeri (\u03b5rz [-])<\/p>\n

Slika 13: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v radialni smeri (\u03c3r [MPa])
Slika 14: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v cirkularni smeri (\u03c3\u03b8 [MPa])<\/p>\n

Slika 15: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v aksialni smeri (\u03c3z [MPa])
Slika 16: Analiti\u010dno dolo\u010dene napetosti v radialno-aksialni smeri (\u03c3rz [MPa])<\/p>\n

5 Numeri\u010dni model
Za numeri\u010dno analizo uporabimo programski paket ANSYS. Pri numeri\u010dnem izra\u010dunu izberemo valj enakih dimenzij kot pri testnem analiti\u010dnem modelu (slika 4), podake pa dobimo iz tabele 1. Najprej izvedemo temperaturno analizo, nato pa z razultati temperaturne analize izvedemo \u0161e trdnostno analizo.
5.1 Temperaturna analiza
Valj pomre\u017eimo z elementi SOLID90, ki so primerni za temperaturno analizo. Na povr\u0161ini pa definiramo elemente SURF152, ki so primerni za definicijo robnih pogojev (temperature in konvekcije). Mre\u017ea je vidna na sliki 17, definirani robni pogoji pa na sliki 18.<\/p>\n

Slika 17: Pomre\u017een valj<\/p>\n

Slika 18: Robni pogoji (oran\u017ena barva predstavlja definirano temperaturo, rde\u010da pa definirano konvekcijo)
Izra\u010dunano stacionarno temperaturno polje prika\u017eemo na celotnem valju in na vzdol\u017enem prerezu valja (sliki 19 in 20).<\/p>\n

Slika 19: Numeri\u010dno dolo\u010deno temperaturno polje
Slika 20:Numeri\u010dno dolo\u010deno temperaturno polje v prerezu
5.2 Trdnostna analiza
Pri trdnostni analizi obdr\u017eimo enako mre\u017eo kot pri temeraturni analizi (slika 17), zamenjamo le ti\u010d elementov v SOLID45. Valj na eni strani fiksiramo z vzmetmi z zanemarljivo togostjo. To moramo storiti, da omogo\u010dimo konvekcijo re\u0161itve. Obremenitev predstavlja numeri\u010dno izra\u010dunano temperaturno polje (slika 5).
Izra\u010dunani pomiki v radialni smeri (ur) so vidni na sliki 21, pomiki v aksialni smeri (uz) so vidni na sliki 22, deformacije v radialni smeri (\u03b5r) so vidne na sliki 23, deformacije v cirkularni smeri (\u03b5\u03b8) sdo vidne na<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seminar: Dolo\u010ditev termoelasti\u010dnega napetostno-deformacijskega stanja noslica lokalno obremenjenega s temperaturno obremenitvijo Povzetek Dolo\u010ditev temperaturnega polja in napetostno-deformacijskega stanja sredinsko segretega valja ne predstavlja zahtevnega fizikalnega problema, matemati\u010dno pa je izjemno kompleksen. Primerjava dobljenih rezultatov analiti\u010dnega in numeri\u010dnega prera\u010duna je navdu\u0161ujo\u010da. Read More …<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-125521","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/125521","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=125521"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/125521\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=125521"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=125521"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.benedictsol.com\/blogs\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=125521"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}